Sebastián me manda por mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com una conjetura sobre números primos que se le ha ocurrido a él mismo. No sabe si es cierta o falsa. Os la propongo como problema para ver qué sacamos en claro:

Sea n un número par. Para todo k\in\mathbb{N} tal que 2 \le k \le \textstyle{\frac{n}{2}} existen una o más combinaciones lineales de enteros de la forma:

a_1 \cdot p_1+a_2 \cdot p_2+ \ldots +a_m \cdot p_m=n

con a_i \ge 0, a_1+a_2+ \ldots +a_m=k y p_1,p_2, \dots ,p_m todos los números primos menores o iguales que n.

Ejemplo:

n=10, \cfrac{n}{2}=5 p_1=2,p_2=3,p_3=5,p_4=7 2 \cdot 5=10 \Rightarrow a_1=0,a_2=0,a_3=2,a_4=0, \displaystyle{\sum a_i=2} 1 \cdot 3+1 \cdot 7=10 \Rightarrow a_1=0,a_2=1,a_3=0,a_4=1, \displaystyle{\sum a_i=2} 1 \cdot 2+1 \cdot 3+1 \cdot 5=10 \Rightarrow a_1=1,a_ 2=1,a_3=1,a_4=0, \displaystyle{\sum a_i=3} 2 \cdot 2+2 \cdot 3=10 \Rightarrow a_1=2,a_2=2,a_3=0,a_4=0, \displaystyle{\sum a_i=4} 5 \cdot 2=10 \Rightarrow a_1=5,a_2=0,a_3=0,a_4=0, \displaystyle{\sum a_i=5}

Pregunta 1: ¿Esta conjetura es cierta o es falsa?
Pregunta 2: ¿Podemos obtener la conjetura de Goldbach como caso particular de esta conjetura?

Vamos a ver si le sacamos jugo al asunto.

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