Uno de los comentaristas más prolíficos e interesantes de Gaussianos, Asier, nos plantea un par de problemas. Os los dejo aquí:
1.- Demostrar que si
es un número primo tal que
, entonces
será divisible por 24.
2.- Demostrar que sison dos números primos tal que
y
entonces la diferencia
es múltiplo de 24.
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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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Un paso previo al problema 1:
Si
es un número impar, entonces 
es divisible entre 8, porque
En efecto
donde 
.
Ahora tan sólo resta probar, para demostrar el problema 1, que si
es primo y 
, entonces 
es múltiplo de 3.
Se resuelven los dos a la vez :oP Para cualquier primo se tiene que debe ser congruente con 1 o con 2 módulo 3. En cualquiera de los dos casos se verifica que Asimismo, debe ser congruente con 1, 3, 5 o 7 módulo 8 (en otro caso, sería par), y en todos casos se verifica que Como 3 y 8 son primos entre sí, obtenemos que , que nos da el primer problema. Para el segundo, aplicamos el mismo razonamiento a y , y obtenemos que tanto como son congruentes con 1 módulo 24. Restando las congruencias nos queda… Lee más »
Bueno, pues ya completo mi demostración del Problema 1:
En efecto, entre
al menos 1 ha de ser múltiplo de 3, como 
al ser primo 
no lo es, ha de serlo bien 
, bien 
.
PS: no es tan elegante como la de vengoroso pero para ser de análisis complejo creo que vale.
Esta es facil
p^2-1=(p+1)*(p-1)
al ser p primo>=5, p+1 y p-1 son pares, o sea uno es 2a y el otro 2b con lo que tenemos
p^2-1 = 2a*2b= 4ab
además, por ser consecutivos p-1, p y p+1 alguno tiene que ser múltiplo de 3…
asi que tenemos
p^2-1=4a * 3c ó
p^2-1=4b * 3c
http://www.juzamdjinn.blogspot.com
la segunda parte es similar de probar, tanto (p+q) como (p-q) son pares, asi que su producto es múltiplo de 4.
Si expresamos
p=3a+b
q=3c+d
el producto queda
9a^2+3ab+9ac+3ad + 3ab+b2-3bc-bd+9ac+3b-9c^2-3cd+3ad+bd-3cd-d^2
donde todos los términos son múltiplos de 3 excepto +bd y -bd que se cancelan y b^2 y -d^2
pero b y d solo pueden tomar como valor 0, 1 ó 2 (realmente solo 1 ó 2)
con lo que
si b=d=1 ó b=d=2
b^2-d^2=0
si b=2, d=1
b^2-d^2=3
y todo el producto está formado por múltiplos de 3
Lamento no usar LaTeX para insertar las fórmulas, pero aún no lo llevo lo suficientemente bien. Dicho esto, aquí mi demostración del problema. 1. Antes de nada, factorizamos la expresión de la siguiente forma: (p^2)-1 = (p+1)*(p-1) [1] Dado que p es un número primo mayor o igual a 5, en particular sabemos que p es impar (de lo contrario, sería divisible por 2 i no sería primo). Por ello, sea un número k natural tal que: p = 2*k + 1 Sustituyendo en la expresión [1], tenemos: (p^2)-1 = (2*k+2)*(2*k) = 4*k*(k+1) I por tanto es divisible por 4… Lee más »
Sigo el razonamiento de Tito Eliatron.
Todo numero primo P mayor que 3 es de
la forma 6n(+ ò -) 1, entonces
P^2 – 1 = 36n^2(+ ò -)12n,factorizable por 3
No voy a aportar nada, simplemente decir que el tema de las congruencias de modulo no termino de entenderlo completamente y que es por eso que el razonamiento de Tito Eliatron me parece excelente, ya que con un razonamiento simple demuestra lo mismo… recuerden lo de explicarselo a la abuela…
Saludos.
Si es lo que yo decía en Álgebra 2… que esto de las congruencias era para míalgo incongruente.
Hola vi tu explicación y me parece maravillosa tengo un problema con numeros primos, espero me puedas orientar.
Sea p un numero primo diferente de 2 y 5 y menor que 100 ¿Existe un n tal que 10n+1 sea multiplo de p? Si n=3,7 la n=2 ¿Sera cierto el resultado para todo primo diferente de 2 y 5?
Palomo, Tito, yo la solución que tenía en mente también era bastante sencilla, sin congruencias ni módulos. Partimos del hecho de que cualquier número puede expresarse como 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4 ó 6k+5. Pero si nos fijamos: 6k+2 = 2·(3k+1) 6k+3 = 3·(2k+1) 6k+4 = 2·(3k+2) Los números con esta forma evidentemente no son primos, salvo para k=0, de ahí que se exige que el primo en cuestión sea mayor que 3. Por lo tanto los primos serán de la forma 6k+1 ó 6k+5 (este último caso es equivalente a 6k-1). 6k+1: Llegado a este punto, si k es par… Lee más »
En el planteamiento inicial me he dejado el caso 6k en el tintero, pero evidentemente no es primo.
Tenemos que
lo podemos factorizar como 
. Si ordenamos nos quedaria 
. Ahora al ser 
tenemos que 
o 
son divisibles por 2 y por 4, y al tener tres numeros consecutivos, tambien son divisibles por 3. Multiplicando los factores nos queda que 2x3x4=24. Por ende 
es divisible por 24. 
Sé que llegué algo tarde pero yo también quiero liaros. Un número primo mayor a 2 ha de ser impar, y todo impar es igual a la suma de dos consecutivos; x+(x+1)= 2x+1 Si 2x+1=p, entonces x(x+1), o lo que es lo mismo, (x^2+x)ha de ser divisible por 6 y dar un número natural que llamaremos «R». Como también sabemos que el cuadrado de p, será igual a (2x+1)^2 = 4x^2+4x+1 = 4(x^2+x)+ 1. Tenemos que 4(x^2+x)+ 1= p^2, y por fin deduzco que ; 4*6R + 1= p^2, de donde (24R+1)^05 = P, y de aquí, yiba, yiba; (p^2-1)/… Lee más »
1.5n^2-/+0.5n perdón
yo creo que en el primer inciso aplica o se cumple si P es cualquier primo que o sea mayor que 5. como 2 y 3, porque por definicion de divisvilidad 24=(p^2-1)m donde m es entero positivo ahora si p=2 se tiene que 24=3m y si p=3 entonces 24=8m y en ambos casos existen enteros que satisfacen las iguladades…
problema: si n es impar entonces n^2-1 es divisible por 8. Como compruebo que es posible dividir
Alguien sabe de esta relación para p natural mayor que 1:
******** p es primo, si y sólo si (2^p)-2 es divisible por p *******
(probe con varios primos y compuestos menores a 10mil y funciono!).
Expuesta en un video de Youtube
fórmula numeros primos y compuestos
https://www.youtube.com/watch?v=MygWAI4WwrY
Ingeniero Javier mendoza navarrete
canal: http://www.youtube.com/channel/UCRIQhBu5sUERte7FUj5gdCw
Es un caso particular del Pequeño Teorema de Fermat pero sólo es correcto el «solo si», la otra implicación no lo es.