Aquí tenéis el enunciado del problema de esta semana:
Demostrar que todos los números de la sucesión
son cubos perfectos.
Que se os dé bien.
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Todos cubos perfectos
Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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El término anterior de la serie sería 81/3.
Multiplico por 9 numerador y denominador de cada término:
729/27, 970299/27, 997002999/27, 999700029999/27, …
Los numeradores son los cubos de 9, 99, 999, 9999,,….
Por lo tanto, la serie inicial serán los cubos de 3, 33, 333, 3333, etc, como es fácil de comprobar calculando un par de términos sucesivos.
llamemoslos A(n). Entonces,
A(1) = (1/3)(100000 + 7700 + 111)
A(2) = (1/3)(110000000 + 777000 + 1111)
A(3) = (1/3)(111000000000 + 77770000 + 11111)
….
A(n) = (1/3)(((10^n-1)/9)*10^(3n+2) + 7*((10^(n+1) – 1)/9)*10^(n+1) + (10^(n+2)-1)/9)
= (1/27)(10^(3n+3) – 10^(2n+3) + 7*10^(2n+2) – 7*10^(n+1) + 10^(n+2) – 1)
= (1/27)(10^(3n+3) – 3*10^(2n+2) + 3*10^(n+1) – 1)
= (1/27)(10^(n+1) – 1)^3 = ((10^(n+1) – 1)/3)^3
El número que está elevado al cubo es obviamente entero, pues su numerador está formado exclusivamente por nueves. Es decir, consiste en n+1 treses.
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Aquí tenéis el enunciado del problema de esta semana: Demostrar que todos los números de la sucesión son cubos perfectos. Que se os dé bien. Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, co……
Un problema bonito, con una resolución también bonita. Investigando un poco, parece que fue uno de los problemas que se pudo aparecer en la 9ª IMO (Yugoslavia-67), pero finalmente no se puso. Ese y muchos otros vienen en un libro llamado IMO Compendium, que recopila gran parte de los problemas propuestos y deshechados en numerosas IMO.
Poniendo simplemente «free download imo compendium» en Google, el tercer enlace es el PDF del libro (unas 800 páginas).
Gracias por leer.
Del mismo estilo, es esta serie:
4356, 443556, 44435556, 4444355556, …
cada vez con un 4 y un 5 más. Se trata de ver que siempre es un cuadrado. Una pista obvia es pensar en el término anterior …
Realmente, es aplicar el mismo proceso que nos enseñó Ignacio antes.
Escribimos el número como una función de n:
Haciendo el cambio
Que resulta
Deshaciendo de nuevo:
Nota*** : A lo último que puse en látex que aparece como
le sobra el cuadrado.
Gracias por leer.
Si, queda entonces, para el número que se eleva al cuadrado, 2/3 de una cadena de n+1 nueves. Es decir, una cadena de n+1 seises:
6^2 = 36
66^2 = 4356
666^2 = 443556
6666^2 = 44435556
…
66…66^2 = 44…44355…556
(n+1 seises al cuadrado = n cuatros, un tres, n cincos, un seis)