Los lectores asiduos de este blog (y muchas otras personas) ya saben que los días 27 y 28 del pasado mes de septiembre se celebró en Bilbao el evento Naukas Bilbao 2013 (antes Amazings Bilbao). Y también saben que yo participé en él con una charla de 10 minutos titulada como esta entrada: Cosas raras provocadas por el infinito. De ello, y de algunas otras cosas del evento, escribí hace un días. Pero he pensado que podía ser interesante escribir un post en el que comente el propio contenido de mi intervención, propiciando también que quien tenga alguna duda/consulta sobre la misma tenga un sitio donde plantearla.

En las próximas líneas, por tanto, podréis ver algunos comentarios sobre las cuestiones que abordé en esta pequeña charla acompañados por algunas de las diapositivas que utilicé en mi presentación.

Cosas raras provocadas por el infinito

Después del chiste inicial relacionado con la famosa frase de Einstein sobre el universo y la estupidez humana y con el «añadido» de Manz

comencé a hablar sobre temas relacionados con el infinito, ese gran desconocido. Lo primero que consideré interesante para comentar fue distinguir entre «una cantidad muy grande» y «una cantidad infinita» utilizando la conocida leyenda del ajedrez. En ella se cuenta cómo Sissa inventó el ajedrez a petición de un rey que estaba aburrido y que éste, muy agradecido por el juego, le ofrece a Sissa lo que él quiera. Éste pide la cantidad de granos de arroz que quedarían en el tablero del ajedrez si ponemos 1 grano en una casilla esquina, 2 granos en la de al lado, 4 en la siguiente, y así sucesivamente:

En principio el rey piensa que podrá responder al pago sin dificultades, ya que no piensa en la cantidad real de granos que debería pagar

Pero como rey que es tiene salida para todo y le ofrece a Sissa una cantidad infinita de granos calculada de la misma forma:

S=1+2+4+8+16+32+ \ldots

En el momento en el que Sissa acepta el rey se la cuela de la siguiente forma:

S=1+2+4+8+16+32+ \ldots=1+2 \cdot (1+2+4+8+16 \ldots)=1+2S \rightarrow S=-1

Vamos, que Sissa pasa de tener una ingente cantidad de arroz a tener que pagar un grano.

¿Por qué ocurre esto? Por operar con el infinito como si fuera un número (recordad que S era una cantidad infinita). Con el infinito no se puede operar con la misma alegría como lo hacemos con los números. Como dice mi amigo Tito Eliatron, «con el infinito sólo opera Gauss, y con cuidado».

Otro ejemplo de esto es el que comenté justo después. Tenemos que

(1-1)+(1-1)+(1-1)+ \ldots=0

ya que todos los sumandos (aunque haya infinitos) valen cero. Pero claro, podemos dejar el primer 1 aparte y agrupar los siguientes así:

1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+ \ldots=1

¿Misma suma y dos resultados distintos? En realidad eso significa que la suma no tiene resultado. ¿Por qué? Muy sencillo. Dicha suma corresponde con el límite de la serie alternada siguiente:

\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n}=1-1+1-1+1-1+\ldots

Si consideramos la sucesión de sumas parciales de dicha serie (es decir, la sucesión formada por los términos (a_0,a_0+a_1,a_0+a_1+a_2, \ldots), tenemos lo siguiente:

(1,0,1,0,1,0,1,0,1,\ldots)

que claramente tiene dos subsucesiones con límites distintos (la de los términos impares, que tiene límite 1, y la de los pares, que tiene límite 0). Eso en teoría de límites significa que la sucesión de sumas parciales no tiene límite, por lo que la suma no tiene resultado.

Sobre esto comentaba que podría estar provocado, entre otras cosas, por mezclar números positivos y negativos. No es solamente por eso, pero sí en parte. Las series alternadas (las que van alternando números positivos y negativos) pueden ser oscilantes (es decir, pueden no tener suma en el sentido de la que acabamos de ver), pero las de términos positivos no. Las series cuyos términos son todos positivos pueden ser divergentes (es decir, con suma infinita) o convergentes (esto es, con suma finita). Y esto, que la suma de infinitos números tenga como resultado un número, es, en cierto sentido, raro, ya que en general pensamos que si sumamos infinitas cosas el resultado debe ser infinito. Como ejemplo puse la suma protagonista del famoso problema de Basilea (y II)

\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{1}{n^2}}

cuyo valor, que encontró Euler, es \pi^2 \over 6.

Y esto engancha con otra cosa rara provocada por el infinito. Las fracciones de numerador y denominador enteros, conocidas como números racionales, cumplen que si sumamos una cantidad finita de ellas el resultado vuelve a ser un número racional. Pero si sumamos una cantidad infinita perdemos esa seguridad: podemos obtener como resultado infinito, un número racional o un número irracional. Y éste es nuestro caso, porque \pi^2 \over 6 es irracional al serlo el propio número \pi (aquí tenéis dos demostraciones de este hecho)…

…y hablando de irracionales, ¿cuál es el órgano más irracional del cuerpo humano? El pie:

porque tanto \pi como e son números irracionales (sobre esto último tenéis una demostración aquí y otra elemental aquí). Sí, el chiste es malo, pero venía que ni pintado.

Después de esto quise exponer el hecho de que en ocasiones una parte de un conjunto puede tener la misma cantidad de elementos que el propio conjunto, como pasa, por ejemplo, con los números naturales positivos y los números pares. Para ver esto simplemente hay que aplicar el argumento que en algunas ocasiones aplicamos casi sin querer para ver si dos conjuntos finitos tienen la misma cantidad de elementos: asociar cada elemento de un conjunto con un elemento del otro y ver si sobra alguno. Por ejemplo, la cantidad de dedos de mi mano es la misma que la de aros olímpicos porque puedo asociar cada dedo con un aro y no sobran ni dedos ni aros

Pues eso mismo puede hacerse con los naturales positivos y los pares. Podemos asociar el 1 con el 2, el 2 con el 4, el 3 con el 6, y así sucesivamente

En el artículo Cuándo dos conjuntos tienen el mismo número de elementos os hablaba sobre todo esto.


Pero esto no significa que lo expuesto ocurra con todos los infinitos. Éste fue el momento para la parte de la charla mas compleja en lo que al contenido se refiere. En ella hablé sobre la idea que se tiene de que hay un infinito nada más, cuando en realidad hay distintos infinitos. Como muchos sabréis, fue Georg Cantor quien demostró este hecho con una idea muy sencilla: el famoso argumento diagonal de Cantor.

La idea es utilizar el argumento anterior entre los naturales y los pares para demostrar que en este caso aquella situación no se da. Es decir, vamos a intentar asociar todos los elementos de un cierto conjunto infinito con los de otro conjunto infinito y veremos que hay elementos de este segundo conjunto que no están asociados con ninguno del primero. El primer conjunto será el conjunto de los naturales positivos y el segundo el conjunto de números entre el 0 y el 1.

Todos los números entre 0 y 1 se pueden escribir de la siguiente forma: un 0, un punto y luego sus decimales. Por tanto, si hubiera tantos números naturales positivos como números entre 0 y 1 podríamos realizar una asociación con la que hemos hecho antes. En ella, cada número natural positivo estaría asociado con un número entre 0 y 1, y en la lista aparecerían todos los números naturales positivos a la izquierda y todos los números entre 0 y 1 a la derecha

Lo que hizo Cantor fue construir un número que está entre 0 y 1 pero que no está en esa lista, por lo que ya no estarían todos en ello y, en consecuencia, habría más números entre 0 y 1 que en los naturales positivos. Y la construcción es así:

Del primer elemento de la lista, 0.a_1 a_2a_3 \ldots, tomamos el primer decimal, le sumamos 1 y lo colocamos como el primer decimal de nuestro número (si era un 9 ponemos en su lugar un 0). Del segundo elemento de la lista, 0.b_1 b_2 b_3 \ldots, tomamos el segundo decimal, le sumamos 1 y lo colocamos como segundo decimal de nuestro número. Y lo hacemos así con todos los de la lista. Nuestro número quedaría más o menos así:

0.(a_1+1)(b_2+1)(c_3+1) \ldots

Si nos fijamos en este número vemos que es distinto a todos los de la lista de la derecha, ya que difiere con todos ellos en, al menos, un decimal (el que hemos tomado de cada uno de ellos para sumarle 1). Por tanto ese número no está en la lista, lo que nos dice que entre 0 y 1 hay más números que en los naturales positivos y, en consecuencia, nos asegura que el infinito de los números entre 0 y 1 es mayor que el infinito de los números naturales positivos. En La diagonalización de Cantor os hablé sobre todo ello.

Para el final dejé algunos comentarios (pocos, por falta de tiempo) sobre los fractales, maravillosos a la par que enigmáticos objetos que se obtienen después de aplicar un proceso infinito a una cierta figura, como los que podéis ver en la siguiente imagen

(Arriba: Conjunto de Cantor y curva de Koch. Abajo: Curva de Hilbert y triángulo de Sierpinski.)

o después de estudiar las características de cada punto del plano después de aplicarles un proceso iterativo infinito, como el famosísimo conjunto de Mandelbrot

De este conjunto hemos hablado bastante en Gaussianos (tenéis información en el enlace anterior y aquí, aquí o aquí), por lo que no voy a comentar mucho más sobre él. Simplemente os invito a que hagáis algo que todo el mundo debe hacer al menos una vez en la vida: disfrutar de las maravillosas imágenes que se generan al hacer zoom en la frontera del conjunto de Mandelbrot (y jugar a encontrar las sucesivas copias del propio conjunto que nos irán apareciendo por el camino). Se pueden encontrar muchos vídeos en internet en los que podemos verlo, y yo aquí os voy a dejar el que utilicé aquel día en la charla:

Y como colofón no podía faltar una alusión al teorema de los infinitos monos en el siguiente sentido:

«Si hace un par de días hubiéramos puesto a infinitos monos a aporrear teclados es seguro que alguno de ellos habría escrito palabra por palabra todo lo que se ha dicho y se va a decir en Naukas Bilbao 2013.

Que, como ocurre con casi todo lo que pensemos, ya salió en Los Simpson:

(Imagen tomada de aquí.)

Y la demostración es muy sencilla:

La probabilidad de que un mono escriba una cierta cadena de k caracteres de forma aleatoria es 1 \over M^k, siendo M el número de teclas que hay en el teclado. Entonces, la probabilidad de que no escriba dicha cadena es 1 - {1 \over M^k}. Si tenemos n monos, la probabilidad de que ninguno escriba dicha cadena es por tanto \left ( 1 - {1 \over M^k} \right )^n, cantidad que, por ser la base un número estrictamente mayor que 0 y menor que 1, tiende a 0 cuando n tiende a infinito. Entonces, como la probabilidad de que ninguno escriba esa cadena es 0, la probabilidad de que la escriba alguno es 1.

Y aquí terminan los contenidos tratados en la charla, que, por cierto, podéis ver haciendo click en la siguiente imagen:

(Foto hecha por Paco Bellido.)

Para durar solamente 10 minutos creo que está bastante bien. Me hubiese gustado tocar algunos otros temas, como las paradojas de Zenón, el hotel de Hilbert, la esfera cornuda de Alexander, la paradoja del pintor o la paradoja de San Petersburgo, pero precisamente el tiempo hizo que no fuera posible. Espero que en algún momento surja la posibilidad de dar una charla más larga sobre el tema para poder incluir estos temas.

Si tenéis alguna duda, pregunta o comentario sobre todos estos temas o sobre la charla podéis utilizar los comentarios para plantearlos.

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