No es un cuadrado

Os traigo hoy el problema de esta semana. Ahí va:

Probar que el producto de cinco enteros positivos consecutivos no puede ser el cuadrado de un número entero.

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

45 Comentarios

  1. Si el producto

    p = n (n+1) (n+2) (n+3) (n+4) = N^2,

    entonces uno solo de los elementos es múltiplo de 5, y se puede escribir

    p = 5 k, donde k no es multiple de 5.

    Entonces

    p = 5 k = N^2,

    por lo que N también es multiple de 5, y podemos escribir

    5 k = 25 M^2

    Simplificando:

    k = 5 M

    que contradice que k no es multiple de 5! Así que el producto no puede ser un cuadrado

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  2. Siguiendo la idea de Olivier aplicada al 2, 3 y 5, N^2 tiene que ser múltiplo de 4, 9 y 25 por lo menos.

    Para que sea múltiplo de 9, solo puede ser n + 2 múltiplo de 9, puesto que si lo es n, solo tengo un múltiplo impar de 3 en n +3. Igualmente con n + 1 y n +4.

    La distribución de múltiplos de 2 ha de ser siguiendo el mismo criterio:

    n múltiplo de 2, n + 2 múltiplo de 4 y n + 4 múltiplo de 2.

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  3. No tomeis en cuenta mi comentario anterior pues es erróneo

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  4. Olivier
    Que N2 sea múltiplo de 5, no implica que N sea múltiplo de 5

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  5. Jugando un poco con el numero se puede sacar que:

    p(n) = n*(n+1)*(n+2)*(n+3)*(n+4) = n*(k^2 – 1)

    donde k = n^2+5n+5

    Y de ahí que nunca podrá ser un cuadrado perfecto.

    Como curiosidad, si n es un cuadrado perfecto, se cumple que p(n)+n es un siempre un cuadrado perfecto. De esta propiedad se puede sacar fácilmente la primera factorización.

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  6. No sigo el final. ¿Puedes detallarlo algo más?

    ¿Como deduces a partir de n*(k^2 – 1) que ese producto no puede ser un cuadrado perfecto?

    En el caso de que “n” fuese un cuadrado lo veo obvio, pero no en el resto.

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  7. Quizá lo estoy suponiendo como algo muy obvio, pero para que el producto sea un cuadrado perfecto tiene que darse que lo sean n y k^2-1, y el segundo es imposible que lo sea.

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  8. Disculpa nogrod, pero el producto de dos enteros que no sean cuadrados perfectos puede dar un cuadrado perfecto, ejemplo: n=3*4 y k^2 – 1 = 3. El producto es 36=6^2.

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  9. Eso, a priori, no es cierto. Puede ser que sin ser ambos cuadrados perfectos el producto lo fuera. En particular si n=k^2-1 (tampoco cuadrado perfecto), el producto te queda (k^2-1)^2.

    El quid de la cuestión está en que k, como bien expusiste depende de n. Y casos como el que acabo de proponer no podrían darse.

    Yo intenté ir acotándolo entre los cuadrado de dos números consecutivos (sin éxito).

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  10. Si ya te entiendo, yo he suspesto que por construcción de k esto no puede pasar, y tendría que demostrarse. Pero no tengo ninguna demostración.

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  11. En cualquier caso, este problema es un caso muy particular de cierto teorema (a menudo conocido como Teorema de Erdos-Selfridge), del cual desconozco la demostración (por lo que no me parece conveniente usarlo, además de que pierde toda la gracia, obviamente, y sería matar moscas a cañonazos). En cualquier caso y, a modo de curiosidad, el teorema dice que:

    Cualquier producto de k términos en progresión aritmética nunca puede ser una potencia n-ésima (con k,n mayores o iguales que 2). (En nuestro caso sería k=5, n=2 y obviamente la diferencia entre términos de la progresión 1).

    PD: No le he visto utilidad, pero obviamente el producto del que nos hablan se puede expresar como un número combinatorio. Pero a priori no conozco una relación útil (en este caso), entre números combinatorios y cuadrados perfectos.

    PD2: También pensé en módulos y residuos cuadráticos (sin éxito).

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  12. Supongamos lo contrario: existe un n tal que p = n (n+1) (n+2) (n+3) (n+4) = m^2=q
    para algún m.
    Entonces estos polinomios p y q con iguales en una vecindad de m, por ser polinomios podemos derivar. Tenemos que todos positivos, luego K=0, k entero no cero, por tanto no existe tal m en R, car(R)=0.

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  13. Suponemos
     p^2=(n-1)(n-2)n(n+1)(n+2)= n^5-5n^3+4n=n(n^2-4)(n^2-1)
    pero esto último no es cuadrado, de lo contrario podríamos factorizarlo como tal.

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  14. Lo que ha dicho Guillén no puedo juzgarlo, puesto que no he entendido nada. Si alguien lo ha cogido agradecería que lo detallase.

    Lo que dice Iordtec no es cierto. Si pudiésemos factorizarlo como cuadrado, eso implicaria que cualquier producto de cinco números consecutivos sería un cuadrado perfecto (puesto que esa propiedad no dependería de n). Por poner un ejemplo, x(x+12) no se factoriza como cuadrado y tomando x=4, esa expresión vale 4*16=64=8^2.

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  15. Voy a cambiar un poco la notación que habéis venido usando. Voy a llamar n al número central.

    El máximo común divisor de cualquier número con los que se diferencian de él en una unidad es 1 y con los que se diferencian en 2 unidades es 1 si el número es impar y 2 si el número es par.

    Aplicando lo anterior, para que el producto sea un cuadrado perfecto, n tiene que ser un cuadrado perfecto o el doble de un cuadrado perfecto.

    Por otra parte:

     p = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) = n (n^2-1) (n^2-4)

    Si n es un cuadrado perfecto, entonces  (n^2-1) (n^2-4) tiene que ser un cuadrado perfecto. Como no pueden serlo ni (n^2-1) ni (n^2-4), y el único divisor que pueden compartir es el 3, entonces se tiene que dar que existan a y b tal que:

     (n^2-1) = 3a^2
     (n^2-4) = 3b^2

    Pero entonces,

     3a^2 - 3 = 3b^2

     a^2 - 1 = b^2

    que es imposible.

    Si n es el doble de un cuadrado perfecto, el razonamiento es muy similar. En ese caso, se tiene que dar que (n^2-4) sea el doble de un cuadrado perfecto. Pero en ese caso:

    n=2m^2

    (n^2-4) = (4m^4-4) = 4(m^4-1) = 4(m^2+1)(m^2-1)

    que no puede ser el doble de un cuadrado perfecto, ya que para eso o bien (m^2+1) o bien (m^2-1) tendría que ser un cuadrado perfecto.

    Me ha quedado un poco complicado pero, básicamente, es aplicar la misma idea una y otra vez.

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  16. Miguel,

    que N^2 sea múltiplo de 5 implica que es múltiplo de 25.

    Si N^2 es múltiplo de un Nº primo p, es múltiplo de p^2.

    Sea N = p^a1 * q^a2 *… * s^an con p, q, .., s su descomposición en nºs primos.

    N^2 = p^2a1 * q^2a2 * … * s^2an

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  17. Olivier y Juanjo Escribano,
    aunque no parece que sea útil para este problema, se puede probar que el producto de 5 enteros consecutivos es siempre múltiplo de 120… o, dicho de otra forma:

    * múltiplo de 5 (obvio, como ya se ha visto),

    * múltiplo de 3 (o bien el central o bien otros dos no centrales serán múltiplos de 3) y

    * múltiplo de 8 : esto es un poquito menos evidente pero basta ver que en los 5 números habrá 2 ó 3 números pares. En el caso de haber 3 ya tenemos 3 doses que multiplicados dan un 8… y en el caso de haber 2 al ser pares consecutivos uno de ellos es forzosamente múltiplo de 4… así que 4 * 2 = 8

    Por ejemplo: 1*2*3*4*5 = 3*8*5 = 120

    Trasladándolo a este problema eso obligaría al hipotético cuadrado a ser múltiplo de 25, de 9 y de 16… Al menos 3600

    Analizando aún más se puede llegar a la conclusión de que los pares deben estar en los lugares primero, central y último. Ya sabemos que los números consecutivos alternan par e impar (por ejemplo, no es posible “par, par, impar, impar, par”). Y la combinación “impar, par, impar, par, impar” no es posible ya que de esos dos pares forzosamente uno debe ser múltiplo de 4 (0 mod 4) y otro debe no ser múltiplo de 4 (2 mod 4) llegando a que el producto final tendría número impar de doses en los factores primos… lo cual es incompatible con un cuadrado. Es más, de la única secuencia posible “par, impar, par, impar, par” el número central debe ser múltiplo de 4 y los otros no. es decir, la secuencia de mod 4 debería ser :

    [2], 3, [0], 1, [2]

    Del mismo modo, se puede llegar a que los mod 9 deben ser una de estas 3 posibilidades (que dan los lugares de los múltiplos de 3):

    * [3], 4, 5, [6], 7 (múltiplos de 3 en lugares primero y cuarto)
    * 2, [3], 4, 5, [6] (múltiplos de 3 en lugares segundo y quinto)
    * 7, 8, [0], 1, 2 (múltiplo de 9 en el centro)

    El múltiplo de 5 podría ocupar cualquiera de las 5 posiciones pero debería ser múltiplo de 25…. Los mod 25 serían

    [0], 1, 2, 3, 4
    ….
    23, 24, [0], 1, 2
    ….
    21, 22, 23, 24, [0]

    Nótese que en los tres casos, la configuración digamos simétrica con un múltiplo de primo al cuadrado (4, 9 ó 25) en el CENTRO es una de las posibles.

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  18. Eso es incorrecto. Por ejemplo, 8 y 10 son dos números pares consecutivos, uno de ellos es múltiplo de 4 y el otro no, y sin embargo, tienen 4 doses entre los dos.

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  19. Lo que quise decir fue que sí consideramos como polinomios, en R intersección Z dominio de P y Q, nos dará una solución si es que existe; x distinta de cero.
    Supongamos que existe P(x)=Q(x) para alguna x.
    Entonces en una vecindad de x son iguales, luego, derivando nos queda N(x)=0 para algún N en R[x]. Como R es de característica cero y N(X)>0 solo queda que n=0 ó que 0=k para algún k entero.

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  20. Sigo sin entenderlo muy bien. ¿Puedes explicar por qué el mismo razonamiento no vale para p(n)=n(n+5)(n+12)?

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  21. Golvano, cierto,
    cometí errores en mi anterior comentario.
    (intenté enviar este mensaje rectificando y no me permitía enviarlo)
    Y, por cierto, muy buena tu demostración.

    A partir del párrafo que empieza diciendo “Analizando aún más”.

    No es correcto lo que dije de que debe haber 3 pares que deben estar en los lugares primero, central y último. También podría haber dos pares siempre que el múltiplo de 4 tuviese una multiplicidad del factor primo 2 que sea impar.

    Del mismo modo, tampoco es cierto que en el caso de haber 3 pares el central deba ser múltiplo de 4. Puede haber múltiplos de 4 en los extremos siempre que uno de ellos tenga multiplicidad del factor primo 2 que sea impar y el otro que tenga multiplicidad par.

    Por tanto, los casos de mod 4 son estos:

    * 3, [0], 1, [2], 3
    * 1, [2], 3, [0], 1
    * [2], 3, [0], 1, [2]
    * [0], 1, [2], 3, [0]

    Y en el caso de los múltiplos de 3,

    * [3], 4, 5, [6], 7 (múltiplos de 3 en lugares primero y cuarto)
    * [0], 1, 2, [3], 4 (múltiplos de 3 en lugares primero y cuarto)
    * [6], 7, 8, [0], 1 (múltiplos de 3 en lugares primero y cuarto)

    * 2, [3], 4, 5, [6] (múltiplos de 3 en lugares segundo y quinto)
    * 8, [0], 1, 2, [3] (múltiplos de 3 en lugares segundo y quinto)
    * 5, [6], 7, 8, [0] (múltiplos de 3 en lugares segundo y quinto)

    * 7, 8, [0], 1, 2 (múltiplo de 9 en el centro)

    (De todas formas no creo que esto sirva de nada para resolver el problema que se propone pero me pareció curioso y relacionado con alguno de los comentarios)

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  22. Espera un momento. ¿No estarás exigiendo que p(n)=q(m) para n=m? Porque eso no es lo que se quiere demostrar.

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  23. Lo que es evidente es que de los cinco números, al menos 2 son múltiplos de 2, uno es multiplo de 5 y al menos uno es múltiplo de 3.

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  24. hola,

    creo que se puede demostrar de la siguiente manera:

    primero escribimos (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)=(n²-4)n(n²-1)

    A continuación podemos estudiar el m.c.d entre los números: n²-4,n²-1 y n^2 (y en consecuencia respecto a n). Esto podemos hacerlo diferenciando el caso en el que n es par y en el que es impar.

    Tras estudiar los m.c.d. de (n²-4),(n²-1) y n se deduce que, para que el producto sea cuadrado ha de ser n=2, que es el caso que se descarta en el enunciado puesto que genera producto igual a 0.

    (Nótese también que (n²-4) y (n²-1) no son cuadrados (a no ser que n=2 o n=1, casos que están descartados).

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  25. Efectivamente, acabo de leer el comentario de Golvano y viene a ser básicamente el que tenia en mente (Yo lo había pensado diferenciando el caso de par/impar para n, pero la resolución viene a ser la misma).

    Saludos.

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  26. Este es mi planteamiento:

    Que se cumpla la igualdad a*b*c*d*e = f*f (con a,b,c,d,e enteros consecutivos positivos) equivale la expresión:
    a*b*c = d*e = f

    Aplicando valores numéricos, la primera posibilidad sería con los números 1 al 5, es decir:
    1*2*3 = 6
    4 * 5 = 20

    Al ser el primer valor (6) inferior al segundo (20), podremos hacer permutas entre ambas expresiones para intentar igualar los valores.

    Analizando las combinaciones, no existe combinación que cumpla la igualdad. La combinación que más se acerca es:
    5*2*1 = 10
    4*3 = 12

    Probando con la siguiente posibilidad, los números de 2 a 6:
    2*3*4 = 24
    5*6 = 30

    De nuevo el primer valor (24) es inferior al segundo (30). Para este caso, la combinación mostrada es la que da los valores más aproximados pero tampoco es posible la igualdad.

    Probando con la siguiente posibilidad, los números de 3 a 7:
    3*4*5 = 60
    6*7 = 42

    Donde, al ser el primer valor (60) superior al segundo (42) indica que cualquier permuta incrementará la diferencia, luego no existe combinación posible.

    Y lo mismo pasaría para el resto de posibilidades (4 a 8, 5 a 9, …)

    Un saludo,
    jaz

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  27. Jaz, hay otras opciones que no has contemplado, como que sea c=c1*c2 y entonces f=a*b*c1=c2*d*e.

    Por ejemplo, con 6, 7, 8, 9 y 10, a*b*c=336 y d*e=90, pero haciendo c1=4 y c2=2 obtienes a*b*c1=168 y c2*d*e=160, dos valores bastante próximos. No garantizas que en algún caso no puedan ser iguales.

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  28. No es correcto mi planteamiento: los números implicados se pueden factorizar y por lo tanto se podría “permutar” sólo algunos de sus factores y esto no está observado.

    … Exacto que es lo que acaba de comentar Mmonchi. Muchas gracias.

    Un saludo,
    jaz

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  29. Juanjo Escribano tiene razón en su primer comentario.
    sólo uno de 5 números será multiplo de 5, pero puede darse el caso de que ese número sea multiplo de 5 más de una vez, como es el caso de 25. entonces no se cumple la afirmación “k no es múltiplo de 5”.

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  30. Si n*(n+1)*(n+2)*(n+3)*(n+4)=p^2, entonces cada numero consecutivo tiene que ser menor que p en caso contrario el producto seria mayor que p^2, y como podemos poner
    p^2/n=(n+1)*(n+2)*(n+3)*(n+4)
    esto implica que p^2 es divisible en n, y como n es menor p, p es divisible en n, aplicando la misma idea para los otros numeros, entonces p divide a n, a( n+1), a( n+2), a(n+3), a (n+4), por lo que se puede poner p= K * n*(n+1)*(n+2)*(n+3)*(n+4), con k positivo, o esa
    p=k*p^2, que es falso

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  31. Una duda Juan.

    No me queda claro “p^2 es divisible en n, y como n es menor p, p es divisible en n”.

    Por ejemplo, para p=30 (=2*3*5) -> p^2 = 900 y 900 es divisible por 4, 9, 25, … pero 30 no es divisible por ninguno de ellos, que son menores de 30.

    Un saludo,
    jaz

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  32. Corriganme si estoy cometiendo algun error.

    Supongamos que p=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=m^2, para n Natural >0
    Entre los factores de p hay siempre un y solo un multiplo de 5 y dos o tres multiplos de 2. Luego p es multiplo de 10 (es decir su ultima cifra es 0), pero no puede ser múltiplo de 100 porque tendría que haber en p algun otro factor multiplo de 5 cosa que es imposible.

    m=Raiz Cuadrada (p), pero esta raiz, sabiendo que p es multiplo de 10, solo puede ser exacta si p es múltiplo de 100, es decir si las dos ultimas cifras de p son 00, cosa que esta en contradicción con la hipotesis anterior.

    Me parece demasiado simple ¿me he equivocado en algo?
    Soy novato en estas lides. Gracias de antemano por leerlo.

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  33. Buenos días ENSP.

    Yo creo que en el segundo comentario (de Juanjo Escribano | 8 de octubre de 2013 | 11:38), muestra que el único término que es múltiplo de 5, al descomponerse por factores, podría tener varios términos 5 (y no sólo uno).

    Un saludo,
    jaz

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  34. ESNP
    La hipotesis es incorrecta, de hecho las posibles soluciones tienen que incluir a 4, 9 y 25 como divisores de p para poder hacer, por lo que serían múltiplos de 900 y siempre acabarían en 2 o mas ceros.

    Mira mi comentario Juanjo Escribano | 9 de octubre de 2013 | 08:24

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  35. No lo había leidoy ahora me doy cuenta de que mi razonamiento es erroneo.
    Muchas gracias.
    Sigo intentandolo.

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  36. Chefo

    No, pero puedes intentar localizarla/s. Puede haber mas de una y tu debes pensar cual es la mejor.

    En este caso yo me quedo con golvano | 9 de octubre de 2013 | 00:08 aun y no habiendose desarrollado en su totalidad

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  37. Lo cierto es que en ese comentario no entiendo el tercer parrafo, y a partir de ahí entonces no entiendo el porqué del resto.

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  38. Y si le damos la vuelta?
    Con qué cantidad de números consecutivos multiplicados podemos conseguir un cuadrado?
    Se puede con 3 o 4? o con 6?

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  39. Cartesiano,

    Ya lo dijo Daniel Cao… (“Daniel Cao | 8 de octubre de 2013 | 18:57”).
    Nunca se podrá conseguir el cuadrado multiplicando números consecutivos (con que sean 2 o más ya es imposible)… Es más, no sólo es imposible el cuadrado, también es imposible el cubo y cualquier potencia (excepto 1, claro, jeje). El producto de números consecutivos NUNCA es una potencia!!!

    Ojo, el comentario de Daniel Cao dice que es tampoco se puede conseguir si en lugar de ser consecutivos forman cualquier progresión aritmética… Pero eso dicho así es falso.
    debe haber alguna condición más porque 2*4 = 8 … siendo 2 y 4 una progresión aritmética de diferencia 2 y 8 es un cubo perfecto. Y para cualquier m… m*(m^2) = m^3 formando m y m^2 una miniprogresión aritmética.
    La condición parece ser que la progresión tenga un número mínimo “td” de términos (para 2 términos ya hemos visto que no se cumple)

    (n + d) * (n + 2d) * … * (n + t * d) nunca es una potencia CUANDO t > td
    td sería un valor que dependería de d (y quizá n)… para d = 1 td=2

    http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?rep=rep1&type=pdf&doi=10.1.1.210.8214

    Por cierto, un problema muy muy similar (aunque más sencillo) ya salió hace años en Gaussianos.

    https://gaussianos.com/naturales-consecutivos/

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  40. * Perdón,

    para d = 1 … será td = 1

    (cuando la progresión es de diferencia 1, es decir, números consecutivos) el número de términos que debe tener para que no exista potencia debe ser mayor que td=1 (con dos números consecutivos ya es imposible que sea potencia y con más consecutivos tampoco)

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  41. Ok, pero cualquier pareja de números puede ser una progresión aritmética. Hacen falta 3 números para poder distinguir si es aritmética o no (como mínimo)
    Siguiendo tu ejemplo 2*8=16 o 3*27=81

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