El problema de esta semana es corto pero directo:
Demostrar que
es irracional.
Probablemente no os resulte demasiado complicado, pero quiero ver qué se os ocurre. Ánimo y suerte a todos y todas.
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Puede que haya opciones más sencillas, pero esta es la que se me ha ocurrido a mí. Consiste en partir del conocimiento de que es trivialmente irracional y relacionarlo con el de su cuarentaicincoava parte. De las igualdades trigonométricas: y podemos despejar la siguiente relación que sólo involucra cosenos: Tomando y aplicando esta fórmula sucesivamente, podemos llegar a que aparezcan sólo términos con , es decir, llegar a un polinomio en , que además tendrá claramente coeficientes enteros por serlo también . Supongamos que . Luego al sustituirlo en un polinomio con coeficientes enteros obtendríamos también un valor racional. Pero… Lee más »
no me convence para nada esta demostración
Corrección: en lugar de
(que son los imaginarios) debería poner 
.
no sirve llegar ese 1 a radianes???.. alli queda en funcion de Pi, q es irracional…
Puede que Pi sea irracional, pero eso no implica que Coseno(x) donde x sea irracional, sea irracional, no se si me explico. Por ejemplo, Cos(2*Pi), es racional.
Ya otro dia aprendo a usar latex.
jajaja pi es irracional y ya esta demostrado
PelaoX, pero siempre podrás desarrollar el $\cos{x}$ en una serie de Taylor en la que aparecerán sumas de potencias de $x$, y por lo tanto también será irracional.
Correción Pasotaman: el conjunto de los números imaginarios (complejos) se designa con
y no con 
.
Para designar a los números irracionales puede usarse tanto
como 
.
Perfecta demostración Pasotaman
otra manera es poniendo el seno en funcion de el numero e y luego se tiene una relacion e elevado a la pi sobre 180 que es irracional.
Jose los complejos tambien abarcan a los reales por lo tanto si nos referimos a los imaginarios una notacion es Im.
Jose: aunque es un tema notacional sin mayor importancia, Wikipedia me da la razón:
, es decir, los imaginarios (puros):
http://en.wikipedia.org/wiki/Imaginary_number
Toda la razón. He de decir que en algún que otro libro sobre Teoría de Números he visto la notación para los irracionales expuesta más arriba.
Siento el malentendido.
Un Saludo.
xator, el derarrollo en serie de potencias no sirve para demostrarlo, porque tambien se puede hacer el desarrollo del cos(Pi), que aunque sea una sumatoria de producto de irracionales (potencias de Pi), la suma es racional.
Hola,
y, si suponemos que 
entonces se tendrá
. De donde 
lo que es una contradicción.
Acabo de ver este post y se me ha ocurrido algo más corto, a ver qué os parece:
y porque eso es una contradicción?
justifica tu demostración ¿por que es una contradicción?
Utilizando la fórmula de DeMoivre cos(nx)+i·sen(nx)=(cos(x)+i·sen(x))ⁿ desarrollada por el binomio de Newton, es fácil ver que si cos(x) es racional, también los es cos(n x) ∀ n ∈ ℕ, sustituyendo sen²(x)=1-cos²(x). Como cos(30°)=√3/2 es irracional, también debe serlo cos(1°).