Reductio ad absurdum

El método de reductio ad absurdum es un gambito mucho más hermoso que cualquiera de los que pueda ofrecernos el juego del ajedrez. Un jugador de ajedrez puede sacrificar un peón o una pieza, pero un matemático sacrifica la partida completa.

Godfrey Harold Hardy

Fuente: INFINITUM. Citas matemáticas

Interesante opinión sobre el método de reducción al absurdo. Para quien no sepa de qué se trata hay una descripción clara y concisa del mismo en este post sobre la infinitud de los números primos y Fermat.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

28 Comentarios

  1. Realmente genial. El método en sí, consiste en probar el CONTRARRECÍPROCO de una implicación. Es decir, si quiero probar A->B, pues pruebo en realidad ¬B->¬A.

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  2. Algunas de las mejores partidas son aquellas en que uno de los jugadores sacrifica la reina (¡la pieza más poderosa!) para acabar ganando unos pocos turnos después.

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  3. Una de las citas más recordadas de Hardy, sin duda alguna.

    Valdría la pena recomendar de paso su célebre A mathematician’s Apology. Estupenda lectura y lugar donde nuestra cita actual vio su primera luz.

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  4. Hace unos 5 años cursé Lógica I. Recuerdo la satisfacción de aprender y comprender la reddución al absurdo. Gracias por recordarme ese momento. Saludos.

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  5. Yo también recomiendo (encarecidamente) la lectura de “A Mathematician’s Apology”; encontré muy interesante leer de primera mano a Hardy y conocer su opinión sobre varios temas.

    Comento también que el ‘apology’ del título se traduce como ‘apología’ y no como ‘disculpa’, que a veces lleva a confusión.

    El libro está en dominio público en Canadá y puede descargarse libremente en http://www.math.ualberta.ca/~mss/misc/A%20Mathematician's%20Apology.pdf (el link no sale bien, así que a copiar y pegar). El pdf no incluye la introducción de C. P. Snow (amigo de Hardy), la versión en papel y en inglés cuesta menos de 13 dólares en amazon.

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  6. Existe traducción castellana del libro de Hardy:
    Apología de un matemático, Nivola 1999.

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  7. Oye, no se donde ponerlo, porque en la página que quiero escribirlo no me aparece para dejar comentarios. Creo que es porque se han cerrado los comentarios de la página que quiero.
    Yo quisiera saber, de la página :

    https://gaussianos.com/como-demostrar-que-el-numero-e-es-irracional/

    cuando define R como la diferencia entre (2) y (3) como la define, porque lo que dice es:

    Por (2) tenemos que q!e es un número entero, y claramente la parte de la suma que aparece explícitamente en (3) también es un número entero.Por tanto la diferencia entre ellos, digamos R, también será un número entero (y positivo). Veamos qué forma tiene R:

    y aqui pone algo que no se de donde lo saca.
    Si alguien me pudiera ayudar…

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  8. masterateo, es la continuación (lo que seguiría después de los puntos suspensivos) de (3). Lo que se ve en el desarrollo de (3) es claramente un entero, y como da por hecho que q!·e también lo es, entonces lo que sigue, la diferencia (R), también tendría que serlo. Desarrollando se consigue demostrar que e es irracional por ‘reductio ad absurdum’.

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  9. La verdad que quizás, por ser ajedrecista, nunca me gustó esta frase de Hardy. El método de reducción al absurdo, sorprende siempre cuando se aprende, y es una potente herramienta matemática pero cuando la aplicas no hay gambito que valga. Te puede valer o no y ya está. Pero el sacrificio de una pieza en ajedrez (exceptuando las que se incluyen en la teoría de aperturas, en las celadas o aquellas que son evidentes por el corto número de jugadas que llevan a la victoria) puede llegar realmente a ser un prodigio que pocas mentes pueden realizar con acierto.

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  10. Estoy de acuerdo con Agustín.
    Si bién se comprende el espíritu de la frase de Hardy con respecto al método matemático, hay que aclarar que en el juego ajedrez no existe el concepto de “sacrificar la partida completa”. Para ganar se puede sacrificar casi todas las piezas, pero por lo menos debe quedar una, aparte del Rey, con la cual se pueda dar jaque mate al Rey adversario.
    Con respeto a la importancia de las piezas vemos que una partida puede continuar jugándose sin las damas, pero nunca sin los reyes. La Dama es muy poderosa, pero el Rey es más importante. En ajedrez no se puede sacrificar el Rey para ganar o entablar. Claro que uno puede matar a su propio Rey, en forma simbólica, inclinando la pieza, con lo cual se abandona la partida. Esto es todo lo contrario a una victoria.

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  11. Yo utilizo reducción al absurdo para entender mejor todas las demostraciones por descenso infinito que me encuentro.

    En vez de hacer el razonamiento típico del descenso infinito, comienzo suponiendo que he encontrado el número más pequeño que cumple tal o cual condición, después, el desarrollo de la demostración (la misma que quiero comprender mejor, y que usa descenso infinito), obtiene que debe haber uno menor, lo cual es absurdo. Me parece un razonamiento mucho más simple y, por tanto, elegante.

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  12. Sive, a mi eso me parece genial. Así el método de descenso infinito se reduce a un caso particular de reducción al absurdo. Como escuché una vez lo que es bello y además simple, es simplemente bello.

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  13. Hace poco encontré en un libro de texto una demostración de que no existen los vampiros,utilizando el método de reducción al absurdo. Proximamente lo pondré en este blog.Curioso.

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  14. La frase se podria aplicar al ajedrez,tendria sentido en un Match entre 2 personas o equipos (la cantidad de partidas me deja sacrificar una partida y el ejemplo mejor a nivel mundial es el Match entre Bobby Fischer vs Boris Spassky,en la primera partida fuerza la partida,sabiendo Fischer que era tablas,la pierde (sacrifica la partida para demostrar que la contienda no va a ver tregua(osea las tablas cortas(empate por si alguno no sabia el significado de tablas),aqui se equivoca Hardy,en ajedrez tambien se sacrifican partidas.) )y me sorprende que las personas que escribieron con “cierto” conocimiento de ajedrez no se dieran cuenta de aquello.
    Saludos
    Amigos espero que para la proxima los que “saben de ajedrez” lean un poco más y después opinen como si supieran.
    Muchos matemáticos que conozco se creen que mover las piezas les da permiso para opinar sobre ello,el ajedrez no es el futbol,ni basquet que opina cualquiera sin más,el ajedrez sino se sabe lo mejor es el silencio.

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  15. Pensar que un jugador pueda preferir perder a propósito una partida de ajedrez en lugar de entablarla me parece que no es algo razonable ni se corresponde con la realidad. Lo que ocurrió en esa partida del match Fischer-Spassky es que simplemente el jugador que perdió se equivocó.
    Por otra parte cabe recordar que en el match de 1972, de un total de 21 partidas, hubo 11 tablas, es decir que en más de la mitad de las partidas se acordó el empate. Ningún jugador de ajedrez sacrifica una partida para ganar otra.

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  16. Omar P:Perder aproposito es una cosa y sacrificar es otra muchacho,no haz jugado el ajedrez de alto nivel ni mucho menos sabes de ajedrez basico(entiendo que este foro es sobre las matematicas pero el lenguaje tambien lo deberias de interpretar)no sabes nada de lo que escribes(las tablas posteriores si sabes de ajedrez te daras cuentas que Fischer ya no necesita “sacrificar” mas para demostrar su punto de vista y las tablas no son de “grandes maestro”(se le llama a tablas sin lucha)) tengo amigos en comun con el fallecido Fischer y además ,esto que digo esta redactado y contado en muchos libros sobre el match,tu ignorancia sobre el tema me lleva a mi mensaje anterior:
    el ajedrez sino se sabe lo mejor es el silencio.

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  17. ‘vengador’: realmente no entiendo tu actitud. La sensación que me queda es que la frase que encabeza el post ha herido tu orgullo de ajedrecista y quieres demostrar equivocadamente que en el ajedrez se sacrifican partidas.

    Vaya por delante que yo también soy ajedrecista (estoy federado y juego torneos) y además la frase de Hardy no me parece la más acertada, puesto que cuando uno sacrifica algo lo pierde, cosa que no ocurre en el ‘reductio ad absurdum’, más bien lo veo como un órdago, das algo por hecho y lo llevas hasta sus últimas consecuencias, hasta llegar a un absurdo, con lo cual demuestras que la suposición inicial era falsa.

    En cuanto a la primera partida del match de ajedrez, en la Wikipedia tenemos las opiniones de Kasparov y Karpov: el primero dice que probablemente Fischer pensó una línea concreta pero no se dio cuenta de que el alfil seguía encerrado y el segundo sugiere que fue un exceso de confianza lo que llevó a cometer el error.

    http://en.wikipedia.org/wiki/World_Chess_Championship_1972

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  18. El_vengador_ajedrecístico, tú seguramente coincidirás conmigo en que mejor que agredir al otro, tildándolo de ignorante, es argumentar con lógica y con fundamentos sólidos.
    Es sabido que entre lo que uno cree, o quisiera creer, y la realidad, a veces hay una distancia considerable.
    Yo también fuí y soy admirador de Robert James Fischer en lo que respecta a su carrera ajedrecística. Esa admiración me llevó a reproducir cada una de sus partidas para intentar estudiar y comprender su juego. Sin embargo no llegué al fanatismo de creer que cuando perdía lo hacía a propósito. No creo que se pueda probar una cosa así. El hecho que esta suposición aparezca escrita en uno o varios libros, como una opinión de sus conocidos, no es un argumento suficiente. Creo que nadie es perfecto, ni siquiera un genio como Fischer, incluso cuando jugaba al ajedrez. A veces se equivocaba más que su oponente y entonces perdía, como es lógico.
    Yo no conozco a nadie que alguna vez no se haya equivocado.
    Por mi parte te aclaro que no soy un maestro del ajedrez, como seguramente lo serás tú, pero mi nivel de juego me permite conocer la mayoría de sus secretos y apreciar la belleza de una buena partida, y esto creo que es algo más que mover las piezas.
    Saludos.

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  19. En la revista JAQUE editada con motivo del campeonato del Match del siglo en el año 72. comentando la primera partida (pag 90) se dice:

    29. AxPTR
    Momento crucial. Como se verá posteriormente esta jugada de FISHER está basada sobre un error de cálculo.

    Por tanto, estamos ante un sacrificio de pieza (no de partida) mal calculado.

    Ahora bien, Fisher no se presentó a la segunda partida, perdiéndola por incomparecencia. ¿Sacrificó la partida? Si es así, ¿para que?

    Mi opinión personal es que este tipo de acciones se realizan por miedo. Si finalmente pierdes el match tu ego tiene una excusa. Quizás un psiquiatra, no yo, podría decir que sacrificó la partida para salvaguardar su ego.

    También en mi opinión, es el miedo el que hizo que Fisher no se presentara a revalidar el título con Karpov.

    En fin son cuestiones psicológicas que todos hemos experimentado alguna vez. El miedo no va en función de lo preparado que estés o lo bueno que seas, está en función de las expectativas que te hagas:

    ¿No es cierto que a veces vamos tranquilos a un exámen que tenemos mal preparado y muy nerviosos a otros que hemos preparado a fondo?

    En fin perdonen el OFF-TOPIC, pero ya que ha salido el tema…

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  20. Ante todo la proposicion de Fischer es por que es el unico caso que hay de primer nivel.
    Mi “idolo” no es,es más,admire a Kasparov
    y van a ver que no estoy de acuerdo con lo que dice. Kasparov a luchado por aplastar la imagen de Fischer por años,al igual que Karpov(es por eso que tiene el record de mas torneos ganados,si van a decir algo al respecto de esto,vean el video donde lo dice ,tambien esta en la web),el objetivo:
    sencillo quien fue el mas grande de todos los tiempos(es como la lucha de Maradona y Pele).

    Interesante respuestas,me agrada que mi “piedra” hizo ondas en el mar de su sabiduría(aunque algunos piensen que son agresivas,el hecho es que cuando uno no esta de acuerdo con algo y responde En ESTA epoca todo es ataque,lo que ponen no lo tomo como ataque,a proposito,fue mi nick el que les da a pensar sobre mis ataques??? logre el objetivo de que investigaran pero no muy profundo).

    Sacrificar no necesariamente lleva a “perder” es más,en ajedrez el sacrificar (el que lo realiza bien,porque sino es bien realizado eso es un ERROR y ya no es sacrificio)saca un beneficio,acosta de material que sacrifica en “ese momento” logra que la posicion quede a su favor,y como en la vida las piezas(personas)valen por lo que hacen,no por estar y ese es el sentido en todos los sacrificios. Lo que dije esta basado en el analista de Fischer(el nunca hablo de eso por algo muy sencillo,sus tacticas eran secretas)
    y del propio Spassky(un video muy interesante hecho por la telivision francesa)obviamente que tiene que ver la psicologia es la parte más importante del ajedrez y eso lo demostro el 2do Campeón del mundo Emanuel Lasker,una mala jugada con el enfoque puramente ajedrecistico no necesariamente es mala con la intervencion de los nervios del oponente que ve planes que lo llevan a perder. Pero volvamos a Fischer la primera y la segunda son 2 partidas puramente psicologicas(la no presentacion de la segunda y el amague de no jugar la 3ra lograron el objetivo de sacar totalmente de juego a Spassky,el lo comenta en libros y videos,busquen en la web)la 1ra no la perdio por un error de analisis(el sabia que no daba el forzar(lo que dicen Karpov y Kasparov es por que no pueden dejar que se agigante la imagen de Fischer,es tonto que hagan eso,pero si leen el libro de Nikitin entrenador de Kasparov en la epoca que jugo con Karpov por el campeonato del mundo van a ver la estupideces que hacian los 2 para molestarse “psicologicamente” entre si.)

    Se que van a seguir dando su opinión,lo mio termino en este post,es dificil creer lo que no se vio,pero la fe(de los hechos)ayuda.

    Fischer se hizo solo(aprendio ruso para leer libros de la “Escuela Rusa de ajedrez”) y los rusos se dieron cuenta que ellos lo formaron por eso era tan popular en Rusia,el pueblo lo adoraba,sus politicos no.

    En cambio Kasparov fue entrenado por campeones del mundo como Tal,Petrossian,Spassky,Smyslov y el llamado padre del ajedrez Ruso Botvinnik.

    Por eso la discusion de quien fue más grande se responde con lo anterior.Y esa es la razón de Karpov y Kasparov para opinar sobre Fischer(además que Fischer dijo que los matches de Karpov y Kasparov estaban arreglados y ahora con esto no estoy de acuerdo con Fischer.Asi que amigos yo no estoy con nadie,va si con alguien con la verdad ,(mi verdad que diran algunos,me adelanto jajaja eso me lo dio mi querido ajedrez adelantarme a los hechos y tener la respuesta.)

    Saludos amigos,no me extrañen
    (recomiendo que lean para saber de la preparacion psicologica los libro de Lasker,hay más nuevos pero para empezar es lo mejor,para aprender los conceptos del juego el de Koblenz(entrenador del campeon del mundo Tal (el más hermoso de ver(hablo del juego tactico),obviamente los tomos de GRAU,el de Nimzovich y los de Watson (que refuta algunas ideas de Nimzovich).
    Despues de esos que les llevara meses manejar con cierta destreza sus conceptos. Jueguen mucho pero mucho (8 meses muchas horas por dias o mas meses esa es la diferencia del que trabaja y el que no) y despues de eso,empiezen con las aperturas. Y bueno es una guia para poder tener un cierto nivel,pero lo más importante: sino tienen PASIÓN (en el ajedrez es lo más importante)no empiezen,no pierdan el tiempo,es mejor ir a la playa salir con sus amigos o pareja. Si tienen pasión lo que sigue es saber perder cuando uno inicia en el aprendizaje y saber ganar cuando uno mejora. Despues de esto ya estamos hablando de alguien que tiene el techo de lo que haga(sino hace nada queda ahi).
    Lo mejor(y lo peor,en algunos casos) del ajedrez es que dependen de ustedes(el entrenador y sus padres si tienen cierta edad) adonde lleguen,el ajedrez te da lo que tu le das,si das mucho tendras mucho. La formacion en tomar decisiones el ajedrez enseña esas herramientas(es por eso que los jugadores de cierto nivel dan conferencias en empresas a ejecutivos) y tantas otras.

    GRACIAS TOTALES (tambien me hago el gracioso,la vida no es solo ajedrez,aunque sin el se complica en manejarla jajaja)

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  21. Es estupendo tu entusiamo por el ajedrez, aunque te diriges a un auditorio un poco especial. La matemática es mucho más compleja que el ajedrez, te lo digo por experiencia propia. Habiendo dedicado aproximadamente las mismas horas a una y otra cosa, no llego ni a novato en matemáticas, mientras que en ajedrez compito con éxito en torneos de primera.

    Pero bueno, entrando en materia ajedrecística quería hacerte con toda humildad algunas observaciones.

    1) ¿Quien fue el mejor jugador de ajedrez? Posiblemente Kasparov. El dato objetivo es que alcanza el más alto ELO de la historia. Incluso si tenemos en cuenta la devaluación del ELO a lo largo de la historia, Kasparov seguiría conservando este record.
    Esto no quiere decir que sea el de mayor talento. La tecnología ha ayudado mucho a las últimas generaciones de ajedrecistas, y el entrenamiento en la URSS era inigualable.

    2) El sacrificio en ajedrez, cuando es realizado a nivel de principiante sí puede medirse en términos de correcto/incorrecto. Pero ha habido sacrificios en la historia que solo se han demostrado incorrectos en la actualidad cuando han sido analizados por potentes ordenadores. Tahl era especialista en este tipo de jugadas.

    3) No estoy de acuerdo en que Fisher quisiera sacar de sus casillas a Spassky, a la hora de no presentarse a la segunda partida del match del siglo, aunque respeto tu opinión. Yo sigo opinando que es tan solo miedo. El mismo miedo que le llevó ano presentarse a revalidar el título con Karpov, y el que hizo que no tuviera lo que hay que tener para jugar con Karpov en 1992 (en lugar de con Spassky) . De todas formas dejémoslo en paz, para el que no lo sepa murió hace tan solo unos meses.

    4) ¿Por qué empezar por las aperturas? Esto es un tópico con el que no estoy de acuerdo. Puedes salvarte de una apertura que no conoces, si aplicas algun que otro concepto general; pero es casi imposible ganar los finales sin conocerlos (a menos que tampoco lo conozca el contrincante que es lo que suele suceder). La razón es que el final está lleno de jugadas en las que solo una es correcta, llevándote las demás a la derrota teórica; esto es menos común en la apertura.

    5) En cuanto al juego de Lasker hay que aclarar que el dicho de que” no hacía la mejor jugada sino la que más molesta le resultaba al contrario” es un poco engañoso. El elegía entre dos jugadas muy buenas aquella que más podía molestar al contrario. Pero ojo, hacer una jugada manifiestamente peor que otra solo porque moleste al contrario no lo veo correcto. A mi me da muy buen resultado lo siguiente: jugar contra el tablero y no contra el jugador. Una partida ganada por errores del contrario no tiene mucho valor.

    6) Y lo más importante que quería decir… no estoy de acuerdo con la frase “Si no tienen pasión no empiecen” por dos razones. 1) Normalmente uno descubre esta pasión después de aprender a jugar. Es casi imposible que uno tenga pasión por el ajedrez solo sabiendo mover las piezas y poco más. y 2) Conozco a personas a las que el mero hecho de jugar al ajedrez como distracción o pasatiempo le ha hecho mucho bien. Ellos no tenían una especial pasión, simplemente les servía para sentirse mejor, para pasar un buen rato, incluso para superar sobrellevar enfermedades como el Alzheimer en su fase inicial o la depresión.

    Saludos.

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  22. Hay Dios lo que hay que leer (que significa jugador de primera???si juegas en tu casa y te dan eso???que club juegas????)
    Segundo noto cierta ignorancia a lo que dices.
    Pero como decia un amigo eso lo hace feliz asi que dejalo que siga en lo suyo.
    Besos
    Ahhh me olvidaba
    Vengador tienes razon,aunque me hubiera gustado que pusieras lo titulos de los libros como
    guia.

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  23. Amiguito, o lo que es lo mismo, Vengador, bajo mi punto de vista es de un infantilismo absoluto hacer pasarse por otra persona y nombrarse a sí mismo como acabas de hacer tú.

    Por otra parte, si publicas un comentario más de ese tipo (faltando al respeto de ese modo a alguien que ni siquiera conoces y, por tanto, de quien no puedes valorar cómo juega) será borrado.

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  24. Gracias Diamond. De todas formas contesto a nuestro ubicuo contertulio. Coloquialmente se llaman torneos de primera a aquellos en los que los participantes están en el rango de 1800- 2000 puntos Elo según el Ranking de la FIDE.

    El sistema Elo, inventado por el Dr Arpad Elo está basado en conceptos estadísticos (especialmente la distribución normal) y se ha demostrado como sumamente eficiente para la medida de la fuerza de un jugador. Creo que sería muy interesante que se estudiara si es posible extrapolarlo a otros juegos o deportes.

    Aunque puede variar según el lugar, normalmente al comenzar en un club la Federación te asigna una puntuación Elo de 1400 puntos (jugador de tercera). Esta puntuación sube o baja cada seis meses basandose en:
    1) la puntuación Elo de los jugadores con los que juegues.
    2) El número de puntos obtenidos jugando contra ellos.

    Tradicionalmente segunda categoría se situa en 1600 puntos ELO. Y primera como he dicho en 1800. Partiendo de aquí y según la Revista de ajedrez de la UNED la clasificación sigue así:

    1800 Primera; 1900 Primera fuerte ; 2000 Preferente ; 2100 Preferente fuerte
    2200 Candidato a Maestro; 2300 Maestro de la FIDE ; 2400 Maestro Internacional
    2500 Gran Maestro ; 2600 Gran Maestro de elite ; 2700 Súper Gran Maestro

    (La Fide solo reconoce los títulos de Maestro Internacional, Maestro Fide y Gran Maestro)

    Solo orientativamente, y con algunas variaciones de año en año; en el mundo hay alrededor de:

    4800 Maestros Internacionales (2200-2300 Elo)
    2800 Maestros Fide (2300-2400 Elo)
    1100 Grandes Maestros ( más de 2600 Elo) de los cuales solo 29 superan los 2700 puntos Elo según mis últimas noticias.

    Solo cuatro jugadores en la historia han superado la barrera de los 2800 puntos: Kasparov, Kramnik, Topalov y Anand. Ninguno de ellos la conserva, a fecha de hoy, la máxima puntuación la alcanza Anand con 2798 puntos.

    ¿Como comparar puntuaciones Elo? Para andar por casa, he confeccionado una pequeña tabla; llamemos D a la diferencia de Elo entre ambos contrincantes, y E al porcentaje de partidas que se espera que gane el de mayor puntuación, segun las fórmulas Elo tendríamos (evitando decimales en los porcentajes) lo siguiente:

    D= 100 E= 64 %
    D= 200 E= 76 %
    D= 300 E= 85 %
    D= 400 E= 92 %
    D= 500 E= 96 %
    D= 600 E= 98 %

    Bueno, espero que os haya parecido interesante, algo con las matemáticas tiene que ver.

    Enlaces:

    Cálculo matemático del Elo aquí:
    http://www.chessbase.com/espanola/newsdetail2.asp?id=5639

    Los 100 mejores jugadores según las últimas listas, aqui:
    http://ratings.fide.com/top.phtml?list=men

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