Esta semana ciertas cuestiones obligan a cambiar el orden de las secciones semanales. Por ello hoy lunes os planteo el problema semanal. Ahí va:
Demostrar que si
es mayor que el número
, entonces:
Ánimo.
Nota: evidentemente, m.c.m. representa mínimo común múltiplo.
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Un número ‘n’ en general se representa a partir de sus números primos como para obtener el MCM de los n primeros números, bastará con obtener la máxima potencia de cada primo de entre todos sus múltiplos, es decir, por la potencia (ojo en realidad dicha potencia debe ser entera, luego debe aplicarse el truncamiento, pero si lo trunco, luego no se cómo operar…¿alguien lo aclara?) ahora bien, el MCM es precisamente todos los primos (menores que n) por esa potencia, luego el MCM es y sacando el logaritmo de n tenemos pero precisamente cada multiplicando dentro del paréntesis vale… Lee más »
Perdón, obviamente metí la pata en lo más fácil, al final es
A mesma demonstração de josejuan.
Seja
Perdão
0 se a>e
Efectivamente, el teorema del número primo implica que
, donde 
, si 
. Eso implica que 
, y el límite es 0 si a>e, o 
si 0<a<e.
Sin embargo no me queda claro que el límite sea 1 cuando
. Es más, me inclino a pensar que no existe el límite (es oscilante). De hecho, eso es lo que se aprecia con el Mathematica
n=10^6
a=Exp[1]
Do[Print[SetPrecision[Apply[LCM, Range[k*n]]/a^(k*n), 10]], {k, 10}]
Estoy con «M», y yo creo que es porque no existe convergencia en cuanto a la potencia máxima para cualquier primo. Es decir, el producto no es sino la diferencia entonces para cada multiplicando es por ejemplo, para el primer primo (2) es decir, da igual que n tienda a infinito, que la diferencia por truncamiento podrá ser tan grande como queramos. Como no tengo ni idea de cómo enfocarlo (de ahí que antes pidiera a ver si alguien puede aclararlo) la «mejor» explicación que se me ocurre es que, puesto que estamos multiplicando por un valor mayor que el… Lee más »
«…es decir, da igual que n tienda a infinito, que la diferencia por truncamiento podrá ser tan grande como queramos…»
Y tan pequeña… (va oscilando con un diente de sierra).
sí, el caso
no está claro. la verdad es que yo tampoco sé justificarlo rigurosamente, pero creo que entiendo lo que dices, josejuan. con esa idea en la cabeza creo que se podrían encontrar sucesiones 
y 
de números naturales tales que
y
,
pero no se me ocurre así de primeras como hacerlo :S
(evidentemente las sucesiones son crecientes y
no es ningún bicho raro, si no el mínimo común múltiplo después de un desliz de dedo :D)
Reescrevendo:
Para
suficientemente grande em relação a 
>0, 
m.c.m.
Deste enquadramento tira-se que o limite é zero, se a>e.
Aqui acaba a resposta ao enunciado. Agora, se
, tenho dúvidas: de
nada se conclui quanto a
Reescrevendo: para
positivo
…
Lo que sí se tiene a partir de
es que
M
Esse limite é usado para demonstrar que
depois de se provar que
Ver, por exemplo, Irrationalité de valeurs de zêta [d’aprés Apéry, Rivoal, …], de Stéphane FISCHLER
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0303/0303066v1.pdf
(Páginas 2,3).
Supongo que será:
¿No?
Claro, desculpem!
[…] Límite nulo | Gaussianos gaussianos.com/limite-nulo – view page – cached * 2 en Calcular las razones trigonométricas de los ángulos más importantes * 2 en La verdadera muerte * 5 en Dos demostraciones geométricas del teorema de Pitágoras […]
¿Cómo se calcula el mcm de dos irracionales?
Epho
O mcm é definido para os inteiros.
Em mmc(1,…,n) os números 1, 2, 3, …, n são inteiros.
Problema: demostrar que
sólo tiene soluciones reales.
Dani, hace algo más de un año se planteó un problema relacionado con esa cuestión. Además de ser infinitos ceros reales, la serie de los inversos diverge y la serie de los inversos al cuadrado converge a 1/10.
https://gaussianos.com/la-cosa-va-de-sumas/
Generalizando un poco la interesante cuestión que nos propone Dani, si
es real entonces la ecuación 
sólo puede tener raíces reales.
A ver si podemos atacar rigurosamente el caso
en el problema del post. Parece que la idea de Dani es el camino a seguir, pero tiene mala pinta 🙂
No sé si para la
que aparece en el teorema del número primo se conoce que tiende a cero oscilando siempre entre valores negativos y positivos. Además habría que ver si tiende a cero como una potencia 
, con 
>1.
qué bueno ese post! me he perdido un buen rato en este blog jejejej… bueno, se intentará compensar 🙂 he de decir que efectivamente lo de demostrar la oscilación a lo bruto ha ido bastante mal :(. estoy un poco falto de ideas para afrontarlo.
Anoche quise decir
como una potencia 
, con 0<
<1, y alternando signos (para que 
tome valores próximos a cero y también valores grandes).
Propongo la utilización de la fórmula de Stirling. Un saludo.
Desafio: Qual é o próximo termo da sucessão seguinte?
1/4,1/8,1/8,3/16,3/8, . . .
E o termo de ordem 20?
Daqui:
http://problemasteoremas.wordpress.com/2010/03/07/desafio-sobre-sequencias-sucessoes/