Comenzamos la semana hoy lunes con el problema semanal. Ahí va:
Encontrar los números naturales
para los que
es un cuadrado perfecto.
Que se os dé bien.
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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.
Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.
Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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He encontrado uno, es el único con n<1000, es n=5 ( 5*2^4+1=9*9 ).
Si es un cuadrado perfecto, pongamos , entonces se verificará . Esto quiere decir que debe existir una descomposición del producto en dos factores enteros y (siendo , por supuesto). Esta configuración sólo admite dos posibilidades: o bien es impar, o bien uno de los dos números es múltiplo de 4 (o potencia superior de 2), mientras que el otro es múltiplo de 2, pero no de 4. Veamos primero qué pasa si los dos números son impares. Claramente, sólo puede ser . En este caso, tenemos , que no es un cuadrado perfecto. Ahora veamos qué pasa cuando es… Lee más »
Bueno, ahí va otra demostración. No me parece del todo elegante, pero bueno, estaré al tanto de si alguien se le ocurre alguna forma mejor de verlo. Sean, naturales tales que . Claramente, es un numero impar, así, utilizando que , escribimos . Utilizando el binomio de Newton, entonces, . Así, nos queda que , sacando factor común . Si sustituimos los valores , vemos que no cumplen el enunciado, pues podemos suponer y, por lo tanto, escribir: . Esta es la igualdad con la que trabajaremos, la llamaremos . Así, podemos suponer k>0, ya que claramente el término de… Lee más »