Sexto y último problema de la IMO 2013 celebrada en Colombia:
Sea
un número entero. Se considera una circunferencia en la que se han marcado
puntos igualmente espaciados. Cada punto se etiqueta con uno de los números
de manera que cada número se usa exactamente una vez. Dos distribuciones de etiquetas se consideran la misma si una se puede obtener de la otra por una rotación de la circunferencia.
Una distribución de etiquetas se llama bonita si, para cualesquira cuatro etiquetas
con
, la cuerda que une los puntos etiquetados
y
no corta a la cuerta que los puntos etiquetados
y
.
Sea M el número de distribuciones bonitas y N el número de pares ordenados (x,y) de enteros positivos tales que
y
. Demostrar que
A por él.
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Problema difícil… diría que semejante al número dos de esta misma OIM pero bastante enrevesado.
De los 700 participantes solo 15 personas aprox obtuvieron cierto puntaje en dicho problea y solo 7 lo resolvieron correctamente haciendo 7 puntos.
1 Bielorrusia
2 Canada
2 Korea
2 EEUU
Sin lugar a dudas este fue el problema mas dificil de la IMO
Eso parece, porque por aquí no hay ni siquiera un comentario que dé alguna idea sobre cómo resolverlo. A ver si alguien se anima.
Algunas ideas. Empezamos por examinar el caso n=3. Ponemos todas las posibilidades. Siempre hay una que es la de los números ordenados de 0 a n. Como M = N +1 se me ocurre que tal vez excepto la distribución ordenada, para cada par x,y existe una ordenación. Hay que encontrar la relación entre ambos. Otra cosa se me ocurrió por inducción. Si añadimos el n+1 para cada distribución bonita solo hay unos lugares en el que intercalar este número. Pueden ser 1 o 2. Se trata de relacionar esto con los nuevos pares x,y que añade el considerar n+1.… Lee más »
El problema es muy enrevesado, así que voy a explicarlo primero con un ejemplo y después indico cómo demostrarlo. Escribo las distribuciones empezando siempre por 0, ya que cualquier otra distribución se reduce a una de éstas por rotación. En una distribución bonita los números están agrupados en progresiones aritméticas crecientes, con diferencia el primer elemento (sin contar el 0). Por ejemplo, en la distribución bonita 0-5-10-15-3-8-13-18-1-6-11-16-4-9-14-19-2-7-12-17 están primero los múltiplos de 5 en orden creciente, después otro grupo que empieza con el 3 y va aumentando de 5 en 5 hasta el 18, luego el grupo del 1, y… Lee más »
No se entiende mucho, la verdad, golvano… 🙁
Entiendo que sin dibujos o algun gráfico es muy difícil hacerse entender en este problema.
En realidad, todo lo de la circunferencia y las cuerdas lo único que implica es que los números a, b, c y d tienen que estar intercalados.
A partir de ahí, te puedes olvidar de todo eso y pensar sólo en secuencias de números.