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Sobre números superabundantes

Posted By ^DiAmOnD^ on 21 de mayo de 2012 in Carnaval de matematicas, Juegos | 27 comments

Comenzamos esta semana de Carnaval de Matemáticas con un problema cuyo enunciado es el siguiente:

Sea $n$ un entero positivo y $\sigma (n)$ la suma de sus divisores (incluyendo al 1 y al propio $n$ ). Decimos que un entero $m \ge 1$ es superabundante si

$\cfrac{\sigma (m)}{m} > \cfrac{\sigma (k)}{k}, \; \forall k \in \{1,2, \ldots , m-1 \}$

Probar que existen infinitos números superabundantes.

Que se os dé bien.

Esta es mi primera contribución con la Edición 3,1415 del Carnaval de Matemáticas, que organiza este blog.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

27 Comments

mimetist
21/05/2012

¡¡Primos primos everywhere!!

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eulerianos
21/05/2012

Supongamos que hay un número finito. Por lo que habrá un m tal que:
$\cfrac{\sigma (m)}{m} > \cfrac{\sigma (k)}{k}, \; \forall k \in \{1,2, \ldots , m-1 \}$
y no habrá ninguno mayor que m.
Consideremos lo siguiente:
$2\sigma (m) = 2D = D+D < D + 2m < \sigma (2m)$
donde D es la suma de los divisores de m
La primera desigualdad se saca de que: "La suma de los divisores de un número es menor que el doble del número"
Tenemos ahora: $2\sigma (m) < \sigma (2m)$
Dividiendo por 2m nos queda:
$\cfrac{\sigma (2m)}{2m} > \cfrac{\sigma (m)}{m}$

Por lo que se concluye que son infinitos, porque en caso de ser finito, el doble del número, sería "superabundante"
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fede
21/05/2012

Basta demostrar que $\dfrac{\sigma(m)}{m}$ no está acotada.

Sea $\displaystyle x= \prod_1^r p_i$ (producto de los primeros $r$ primos)

Entonces $\displaystyle \sigma(x) = \prod_1^r (p_i+1)$ y

$\displaystyle \dfrac{\sigma(x)}{x} = \prod_1^r \dfrac{p_i+1}{p_i} = \prod_1^r ( 1 + \dfrac{1}{p_i}) = \sum_1^r \dfrac{1}{p_i} + S, \ \ S> 0$

Pero $\sum \dfrac{1}{p_i}$ no está acotada, y por tanto tampoco $\dfrac{\sigma(x)}{x}$
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GOB
21/05/2012

Genial la demostración de fede !!
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Ratoncillo de biblioteca
21/05/2012

Eulerianos, afirmas que $\sigma(n)<2n$ , pero por ejemplo

$\sigma(12)=1+2+3+4+6+12=28$ no es menor que $2\cdot 12=24$
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Pirer
21/05/2012

Creo que la demostración de Fede es correcta, pero a mi se me ha ocurrido otra:

Para $n = 2^k$ se tiene que sus divisores son $1, 2, 4, \ldots, 2^{k-1}, 2^k$ .

Por tanto, la suma de sus divisores es: $\sigma(2^k) = 2^{k+1}-1$ , demostrable fácilmente por inducción.

Con esto, tenemos que $\frac{\sigma(2^k)}{2^k} \over^{k\rightarrow \infty}{\longrightarrow} \infty$ .

Es decir, $\frac{\sigma(n)}{n}$ no está acotada, lo cual contradice el enunciado:

En caso de haber un último número superabundante $k$ , cualquier otro cumpliría que:

$\forall n \; \frac{\sigma(n)}{n} \leq \frac{\sigma(k)}{k}$
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Pirer
21/05/2012

No me deja editar el post, así que lo pongo aquí:

La cuarta línea tendría que quedar:

Con esto, tenemos que: $\frac{\sigma(2^k)}{2^k} \xrightarrow{k \rightarrow \infty} \infty$ .
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Pirer
21/05/2012

Me acabo de dar cuenta de que hay un error en la demostración. Concretamente en la línea que he editado… así que todo es falso. Os dejo a vosotros encontrarlo.
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Ratoncillo de biblioteca
21/05/2012

Pirer, no entiendo una cosa:

$\cfrac{\sigma(2^k)}{2^k}=\cfrac{2^{k+1}-1}{2^k}=2-\cfrac{1}{2^k}$

que tiende a $2$ cuando $k\rightarrow\infty$ ¿por qué afirmas que se va a $\infty$ ?
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Pirer
21/05/2012

Toda la razón, Ratoncillo.
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Javier
21/05/2012

2
4
6
12
24
36
48
60
120
180
240
360
720
840
1260
1680
2520
5040
10080
15120

¿Es una ilusión? ¿O veo doble?
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Javier
21/05/2012

La verdad es que veo muchos múltiplos de dos y de tres… ¿Por qué? Números con divisores pequeños… Muchos divisores pequeños…
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eulerianos
21/05/2012

ratoncillo de biblioteca toda la razón del mundo, me di cuenta pensando la demostración un rato después. Craso error!
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JJGJJG
22/05/2012

La suma de divisores de un número es mayor que dicho número.

La suma de divisores del producto de dos números primos entre sí es igual al producto de las sumas de divisores de ambos.

Si n fuera el mayor de los números superabundantes y p un número primo con él, el cociente entre la suma de divisores de (pxn) y el propio (pxn) sería mayor que el cociente entre el los divisores de n y el propio n, luego o bien (pxn) sería superabundante o bien habría un superabundante entre n y (pxn).

De hecho todo factorial es superabundante y hay infinitos de ellos.
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eulerianos
22/05/2012

JJGJJG
No comparto que todo factorial es superabundante
He aquí mi contraejemplo:
$\frac{\sigma{(4!)}}{4!}=\frac{\sigma{(24)}}{24}=\frac{52}{24}<\frac{28}{12}=\frac{\sigma{(12)}}{12}$
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fede
22/05/2012

Eulerianos, hay algún error en el cálculo que has hecho, porque es verdadera la
conclusión $\dfrac{\sigma(2m)}{2m} > \dfrac{\sigma(m)}{m}$ de tu primer comentario:

$\displaystyle \sigma(n) = \sum_{ d | n} d = \sum_{d | n } \frac{n}{d}$ , y entonces $\displaystyle \dfrac{\sigma(n)}{n} = \sum_{d | n } \frac{1}{d}$ ,

y entre los divisores de un múltiplo de n están todos los divisores de n.
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José María
22/05/2012

Hola Eulerianos
En tu primer post no has demostrado la desigualdad para m+1,…,2m-1
Si no lo haces, está incompleta
Saludos
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JJGJJG
23/05/2012

eulerianos: la suma de los divisores de 24 es 60 y no 52, luego tu contraejemplo no siirve.

José María: la demostración de eulerianos prueba que, entre m+1 y 2m hay, al menos un número, cuyo cociente es mayor que el de m. Si solo hay uno, 2m sería superabundante.
Si hay más de uno, el primero en superar a m (llamémoslo m+n) lo sería. Luego m no puede ser el mayor superabundante. Del mismo modo razonaríamos entre m+n y 2(m+n). Y así sucesivamente hasta el infinito.
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José María
23/05/2012

Hola
La demostración de eulerianos no es cierta porque usa un resultado que no es cierto (contraejemplo de ratoncillo de biblioteca)
En la demostración de Fede sigo sin ver por qué el cociente de m es mayor que el de todos los anteriores.
Saludos
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Ratoncillo de biblioteca
24/05/2012

José María ¿te refieres a que basta demostrar que $\cfrac{\sigma(m)}{m}$ no es acotada?

Supongamos que $\cfrac{\sigma(m)}{m}$ no es acotada y que existe un número finito de números superabundantes. Notemos al máximo de ellos por $M$ , es deicir, $M$ es el último número superabundante. Como $\cfrac{\sigma(m)}{m}$ no es acotada, se puede considerar

$N=\min\left\lbrace n>M \ | \ \cfrac{\sigma(n)}{n}\geq\cfrac{\sigma(M)}{M}\right\rbrace$

Este $N$ es superabundante. En efecto, si $k\in\{1,2,\dots,M-1\}$ entonces

$\cfrac{\sigma(k)}{k}\prec\cfrac{\sigma(M)}{M}\leq\cfrac{\sigma(N)}{N}$

Sea $k\in\{M,M+1,\dots, N-1\}$ , y supongamos que

$\cfrac{\sigma(k)}{k}\geq\cfrac{\sigma(N)}{N}$

Puesto que $\cfrac{\sigma(N)}{N}\geq\cfrac{\sigma(M)}{M}$ tendremos que $\cfrac{\sigma(k)}{k}\geq\cfrac{\sigma(M)}{M}$ y esto contradice la

definición de $N$ (ya que, $N$ es el mínimo)

Por tanto debe ser

$\cfrac{\sigma(k)}{k}\prec\cfrac{\sigma(N)}{N}$

Esto prueba que $N$ es superabundante, contradiciendo que $N >M$ .

Luego hay infinitos números superabundantes.

Aprovecho para felicitar a fede por su demostración.
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fede
24/05/2012

Gracias. Me parece más simple y bonita la demostración basada en la identidad

$\displaystyle \frac{\sigma(n)}{n} = \sum_{d\ |\ n} \frac{1}{d}$ ,

es decir, «todo natural es igual a la suma de sus divisores dividida entre
la suma de los inversos de sus divisores».
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Ratoncillo de biblioteca
24/05/2012

En mi comentario anterior, me he dado cuenta de un detalle que no es correcto. Hay que sustituir la definición dada de $N$ por esta otra:

$N=\min\left\lbrace n>N \ | \ \cfrac{\sigma(n)}{n}>\cfrac{\sigma(M)}{M}\right\rbrace$
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José María
24/05/2012

Hola Ratoncillo de biblioteca, ahora me ha quedado clara la demostración
Muchas gracias
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Miguel
29/05/2012

A mi, hay algo que no me queda claro en la primera demostración de fede.
Esta hecha para números que únicamente son producto de los primeros r primos, en cuyo caso, el número 12 no cumple lo dicho justamente después, es decir, «sigma de 12» no es el producto de los r primos más 1.
Quizás estoy equivocado, pero eso no lo demuestra, ¿o si?.

Por cierto, mi enhorabuena para ratoncillo y el propio fede, pues la demostración última y la identidad dada por fede son geniales.
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Ratoncillo de biblioteca
29/05/2012

Hola Miguel, lo que demuestra fede en su primera demostración, es

$f\left(\prod_{k=1}^r p_k\right)>\sum_{k=1}^r\frac{1}{p_k}$ para todo $r\in\mathbb{N}$ donde $f$ es la función $f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{R}, \ f(m)=\cfrac{\sigma(m)}{m}$

Esto implica que $f$ no es acotada, puesto que, la serie de los inversos de los números primos es divergente (este hecho no es trivial, pero hay demostraciones elementales del mismo). Para verlo se puede razonar por reducción al absurdo:

Supongamos que $f$ fuese acotada, entonces existe un $M\in\mathbb{R}$ tal que $f(m)\leq M$ para todo $m\in\mathbb{N}$ . Por otro lado, como la serie de los inversos de los números primos es divergente, existirá un $n_0\in\mathbb{N}$ tal que
$\sum_{k=1}^{n_0}\frac{1}{p_k}\geq M$ . Pero tomando,
$m=\prod_{k=1}^{n_0}p_k$ se tendría que

$f(m)=f\left(\prod_{k=1}^{n_0} p_k\right)\leq M\leq\sum_{k=1}^{n_0}\frac{1}{p_k}$
llegando a contradicción.
Post a Reply
Miguel
29/05/2012

Claro, ya entiendo, si no está acotada, significa que hay infinitos números que cumplen que son «superabundantes».
Lo que yo no veía tan claro (perdon por mi ignorancia) era que si:
$x = \prod\limits_1^r {{p_i}} \Rightarrow \sigma(x)= \prod\limits_1^r {(p_i + 1)}$
Pero ya vi porque era eso (simplemente al desarrollar el productorio se queda la suma de todos los posible divisores de $x$ , incluyendo el 1 y el propio $x$ ).

Gracias por la respuesta 🙂
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Ratoncillo de biblioteca
29/05/2012

Eso es Miguel, aunque también se puede probar por inducción.

Para $r=2$ :

$\sigma(p_1p_2)=1+p_1+p_2+p_1p_2=(1+p_1)(1+p_2)$

Supongamos el resultado cierto para $r=k\geq 2$ y veamos que también es cierto para $r=k+1$ :

Sea $n=p_1p_2\cdots p_kp_{k+1}$ y notemos por $m=p_1p_2\cdots p_k$ .

Consideremos los conjuntos

$A=\{d\in\mathbb{N}, \ d\mid n \text{ y }p_{k+1}\mid d\}$
$B=\{d\in\mathbb{N}, \ d\mid n \text{ y }p_{k+1}\nmid d\}$

es claro, que $A$ y $B$ son disjuntos y su unión es el conjunto de todos los divisores de $n$ .

Reordenando, si fuese necesario, los sumandos de $\sigma(n)$ podemos escribir

$\sigma(n)=\sum_{d\in A}d+\sum_{d\in B}d$

En el primer sumando, podemos sacar factor común $p_{k+1}$ obteniéndose

${\displaystyle\sum_{d\in A}d=p_{k+1}\sum_{d\in B}d}$

y sustituyendo en la expresión anterior

$\sigma(n)=(1+p_{k+1})\sum_{d\in B}d$

Por otro lado, si $d\in B$ entonces $p_{k+1}\nmid d$ y por tanto $mcd(d,p_{k+1})=1$ luego $d\mid m=p_1p_2\cdots p_k$ . Recíprocamente, es claro que cualquier divisor de $m$ pertenece a $B$ .

Luego

$\sum_{d\in B}d=\sigma(m)\Longrightarrow \sigma(n)=(1+p_{k+1})\sigma(m)$

Por último, basta aplicar la hipótesis de inducción a $\sigma(m)$ para obtener que el resultado.
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