Comencemos planteando uno de los típicos problemas que abundan por internet en el que nos dan una serie de números y nos piden averiguar el siguiente. Ahí va:

Calcular el término siguiente de la siguiente serie:

1,2,4,8,16 \ldots

En principio la respuesta parece evidente, ¿verdad? Pues cuidado.

Supongamos que tenemos una circunferencia y vamos escogiendo puntos de la misma trazando posteriormente todos los posibles segmentos que conectan un par de puntos de los elegidos (exigimos que en ningún caso tres de estos segmentos se corten en un mismo punto, gracias Asier) contando después en cuántas regiones queda dividido el círculo que determina la circunferencia. Si escogemos sólo 1 punto no se pueden trazar segmentos y por tanto tendremos una única región. Si hemos escogido 2 puntos se puede trazar sólo un segmento y por tanto nos quedarán dos regiones. Si tenemos 3 puntos podemos trazar 3 segmentos que dividen al círculo en 4 regiones. Y así sucesivamente.

En el siguiente gráfico se puede ver con más claridad:

Círculo dividido en regiones

Podemos ver en cuántas regiones queda dividido el círculo trazando los segmentos de la manera antes descrita: 2 regiones para dos puntos, 4 regiones para tres, 8 regiones para cuatro y 16 regiones para cincoo (el caso cero, un punto, cero segmento y por tanto una región, no está contemplado en el gráfico pero es evidente).

Volvamos a preguntar: ¿qué número es el siguiente de la serie? Es decir, ¿en cuántas regiones queda dividido un círculo cuando trazamos todos los segmentos posibles que unen pares de puntos entre seis escogidos en una circunferencia? ¿Y si tomamos siete puntos?

Pues el tema parece llevarnos a lo siguiente:

Si llamamos R_n al número de regiones obtenidas con n puntos parece serR_n=2^{n-1}:

1 punto \longrightarrow R_1=2^{1-1}=2^0=1 región
2 puntos \longrightarrow R_2=2^{2-1}=2^1=2 regiones
3 puntos \longrightarrow R_3=2^{3-1}=2^4=4 regiones
4 puntos \longrightarrow R_4=2^{4-1}=2^3=8 regiones
5 puntos \longrightarrow R_5=2^{5-1}=2^4=16 regiones

Con lo cual, para seis puntos tendríamos 32 regiones.

Pero la realidad es otra: con seis puntos obtenemos 31 regiones. La sucesión que nos da el número de regiones a partir del número de puntos no es 2^{n-1}, sino que es la siguiente:

R_n= \cfrac{n^4-6n^3+23n^2-18n}{24}+1

Si la usamos para calcular el número de regiones vemos que va coincidiendo con la serie…hasta que llegamos a seis puntos. Ahí da 31 cuando debería dar 32. Además, conforme aumentamos el número de puntos los valores de las dos sucesiones van distando cada vez más.

Os dejo una tabla con los resultados:

n R_n 2^{n-1}
1 1 1
2 2 2
3 4 4
4 8 8
5 16 16
6 31 32
7 57 64
8 99 128

¿Conclusión? Pues como reza el título del post: cuidado con la intuición cuando hablamos de inducción. Además, respecto a la intuición no es la primera vez que avisamos.

Fuente: MENSA, aunque la fórmula de R_n está mal en el enunciado del juego.

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