La espiral de Arquimedes

Introducción

GeoGebra-Java no se puede ejecutar.

Si giramos una semirrecta manteniendo fijo su extremo y sobre la semirrecta se mueve un punto con velocidad proporcional a la angular de giro, el punto describe una espiral en el plano. El tratado Sobre las Líneas Espirales de Arquímedes está dedicado al estudio de esa curva.

La diferencia entre los ángulos correspondientes a dos puntos de la curva es proporcional a la diferencia entre las distancias de esos puntos al centro. Entonces, dada una espiral de Arquímedes podemos dividir un ángulo en cualquier razón en que podemos dividir un segmento y, por tanto, podemos trisecar un ángulo con regla y compás.

Dos resultados de Arquímedes

En la figura siguiente tenemos un punto en la espiral (que se puede mover), la tangente a la espiral en ese punto, el radio que une el origen con ese punto en la espiral, la circunferencia con centro en el origen y ese radio, la perpendicular al radio por el origen y el punto de intersección de esa perpendicular con la tangente. Llamamos subtangente polar al segmento (naranja) entre esa intersección y el origen.

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Arquímedes demuestra rigurosamente los siguientes resultados:

• Propiedad de la subtangente polar: La longitud del arco naranja es igual a la longitud del segmento naranja.

Por tanto el área sombreada es igual a la del triángulo rectángulo de la figura.

• Propiedad de las áreas barridas: El área encerrada en el perímetro verde es la tercera parte del área sombreada.

De esta propiedad se deduce que la razón entre las áreas barridas correspondientes a dos puntos de la espiral es igual a la razón entre los cubos de sus distancias al origen.

(Para puntos de la espiral mas allá de la primera vuelta, sumar tantas longitudes de circunferencia/áreas de círculo como giros completos realizados, y en lugar del área dentro del perímetro verde considerar el área total barrida por el radio vector generador)

A continuación demostramos esos resultados.

Demostración de la propiedad de la subtangente polar

Supongamos una circunferencia y una escuadra (como ésta) cuyo brazo corto sea igual al radio de la circunferencia y cuyo brazo largo sea infinito.

Colocamos la escuadra de forma que el extremo del brazo corto coincida con el centro de la circunferencia y a partir de esa posición rotamos la escuadra sobre la circunferencia sin deslizamiento. Sea el punto de tangencia variable del brazo largo de la escuadra con la circunferencia.

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y son siempre perpendiculares y por tanto giran el mismo ángulo.

El arco recorrido por es igual al segmento entre y la esquina de la escuadra, que es igual a

Por tanto es proporcional al ángulo recorrido por el radio vector desde el origen y entonces la curva descrita por el extremo del brazo corto de la escuadra es una espiral de Arquímedes.

Como en el movimiento de la escuadra es el centro instantáneo de rotación, será perpendicular a la tangente a la espiral en

Los triángulos y son semejantes, porque es un triángulo rectángulo. Como es igual al arco descrito por en la circunferencia de radio , será igual al arco de igual ángulo descrito sobre la circunferencia de radio

Según este enlace, la construcción anterior se debe a Michel Chasles.

Demostración de la propiedad de las áreas barridas

El argumento siguiente aparece en la Colección Matemática de Pappus de Alejandría.

En la figura siguiente, dividimos el arco total sobre la circunferencia gris en sectores iguales.

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Los radios de los sectores limitados por los arcos naranjas están en progresión aritmética por la definición de la espiral.

Los radios de los cilindros naranjas de la figura también están en progresión aritmética.

La razón entre el area de un sector limitado por un arco naranja y el área de uno limitado por un arco gris es igual a la razón entre los cuadrados de sus radios.

La razón entre los volúmenes de dos cilindros de igual altura es también igual a la razón entre los cuadrados de sus radios.

Por tanto la razón entre el volumen de los cilindros naranjas y el del cilindro gris es igual a la razón entre el área de los sectores naranjas y el sector total.

Y como el volumen del cono es la tercera parte del volumen del cilindro, el área barrida al generar la espiral será la tercera parte del área del sector total, o sea del sector con radio igual a la distancia entre el centro y el punto de la espiral y ángulo igual al recorrido por el radio vector generador hasta ese punto.

La parábola de Roberval y Pascal

Por último presentamos un resultado demostrado por Roberval usando movimientos, quizá como más abajo, y demostrado rigurosamente, a la manera de Arquímedes, por Pascal en 1658.

En la figura siguiente, prolongamos el arco (naranja) en linea recta hasta un punto tal que la longitud es la mitad de la longitud del arco

Al mover sobre la espiral, el punto describe una parábola porque la longitud del arco y por tanto aumenta doblemente con el aumento de (una vez por aumentar el radio y otra por el ángulo, que aumenta en la misma proporción que el radio), es decir aumenta proporcionalmente al cuadrado de

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El resultado de Roberval y Pascal es:

• La longitud del arco verde de la espiral (arco ) es igual a la longitud del arco rojo de la parábola (arco ).

Además se cumple que:

• El área encerrada en el perímetro verde es igual al area encerrada en el perímetro rojo.

Demostramos que al mover el punto sobre la espiral, el punto se mueve en cada instante a la misma velocidad que el punto :

Descomponemos el vector velocidad del punto de la espiral en 2 componentes rectangulares: uno con la dirección del radio vector y otro perpendicular a éste.

Como la tangente a la espiral tiene la dirección de la suma de las componentes rectangulares, éstas estarán en la misma proporción que la que hay entre y , donde es la subtangente polar.

Descomponemos el vector velocidad del punto de la parábola en 2 componentes rectangulares: uno con la dirección de y otro con la de

Como la tangente a la parábola tiene la dirección de la suma de las componentes, éstas estarán en la misma proporción que la que hay entre y , donde es la intersección de la tangente con el eje de la parábola.

Pero , y , por la propiedad de las tangentes a la parábola, arco, por la construcción de la parábola, y arco, por la propiedad de la subtangente polar de la espiral.

Por tanto, en cada instante la razón entre los componentes de la velocidad es la misma para y para

Como al moverse la componente en la dirección es igual en magnitud a la componente de en la direción , resulta que en cada instante la magnitud de la velocidad de es la misma que la de y por tanto y recorren longitudes iguales entre los mismos instantes.

El área encerrada en el perímetro verde es igual al área encerrada en el perímetro rojo porque ésta es igual a la tercera parte del rectángulo y éste es igual al sector (que es igual a los triángulos y ), y Arquímedes demostró que el área del sector es el triple del área barrida al generar la espiral.

Este artículo es otra genial colaboración de nuestro gran colaborador fede, que seguro que sabréis que se «independizó» de Gaussianos hace un tiempo abriendo su propio blog, Guirnalda matemática, en el que sigue dándonos magníficas lecciones de geometría clásica. Dedicadle un rato a sus entradas, merecen muy mucho la pena.