Curvas tangentes

Publicado por ^DiAmOnD^ | 23 febrero, 2010 | Juegos | 35 |

Os dejo el problema de esta semana. Ahí va:

Encontrar todos los valores de $\alpha \in \mathbb{R}$ para los cuales las curvas

$y=\alpha x^2+ \alpha x+ \cfrac{1}{24}$

y

$x=\alpha y^2+ \alpha y+ \cfrac{1}{24}$

son tangentes entre si.

A por él.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

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Bitacoras.com

23/02/2010 08:46

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: Os dejo el problema de esta semana. Ahí va: Encontrar todos los valores de para los cuales las curvas y x=\alpha y^2+ \alpha y+ \cfrac{1}{24}$ son tangentes entre si. A por él….

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cdrman

23/02/2010 12:58

Hola, buenos días. He intentado hacer el problema anterior de la siguiente forma.

He hecho la derivada de la función de cada una de las curvas.

y = 2alfaX+alfa
x = 2alfaY+alfa

Resuelvo el sistema:

y – x = 2alfa(x-y)

alfa = -0.5

Creo que no puede ser tan sencillo, algo he debido de hacer mal. A ver si alguien me puede guiar.

Gracias.

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mper23

23/02/2010 13:05

$\frac {3}{2}$ y $\frac {2}{3}$ , creo. ¿Hay más?

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José Antonio

Reply to mper23

23/12/2019 22:01

A mi me salen esas dos únicas soluciones. Las dos gráficas, para cualquier alfa son simétricas respecto a la recta y=x, pues intercambian la x por la y. Entonces serán tangentes en el punto de tangencia de la recta y=x con cualquiera de ellas. Haciendo las cuentas me salen esos dos únicos valores para alfa. ( 3/2 y 2/3)

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José Antonio

Reply to José Antonio

23/12/2019 22:44

Además salen (13+sqrt(601))/12 y (13-sqrt(601))/12, en cada uno de estos dos casos tienen punto de tangencia y punto de corte.

Responde

José Antonio

Reply to José Antonio

24/12/2019 00:20

Modificaría parte del enunciado sustituyendo «son tangentes entre sí» por «tienen puntos comunes de tangencia»

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cdrman

23/02/2010 13:47

Por lo que veo…. no lo tengo bien. Supongo que me he saltado el tema de las dy/dx, dx/dy… bufff. A ver si alguien me orienta.

Muchas gracias.

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orlin

23/02/2010 13:55

Por inspección los puntos de corte entre ambas funciones están en $(x_0,y_0)$ cuando $y_0 = x_0$ . La pendiente de la recta tangente a las curvas en esos puntos es la misma, ya que:
$m_1 = 2\alpha(1+x_0)$ y
$m_2 = 2\alpha(1+y_0)$ ,
entonces
$m_1 = m_2$ si $x_0 = y_0$
(no tengo en cuenta el caso $\alpha = 0$ serían dos rectas no que se cortán en un punto.)

Ahora bien, como queremos que sólo se cortén en un punto (el tangente) pedimos que el sistema:
$x_0 = \alpha x_0^2 + \alpha x_0 + \frac{1}{24}$ tenga sólo una solución.
y eso se cumple cuando el discriminante sea igual a 0:
$\Delta = (\alpha-1)^2 - \frac{1}{6} = 0$
de ahí:
$\alpha = \frac{-1}{\sqrt{6}} + 1,~~ \frac{1}{\sqrt{6}} + 1$

Esos valores me salen, a ver si están bien!!

un saludo.

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23/02/2010 14:05

orlin, el discriminante que has puesto debe ser $\Delta=(\alpha-1)^2-\frac{\alpha}{6}$ , con lo cual los valores cambian. Para los dos que has puesto, no hay intersección. Con tu misma idea, también he visto que los puntos de corte están sobre la bisectriz $y=x$ .

Para los valores de mper23 $\alpha=3/2,2/3$ sale un único punto de corte y las curvas son tangentes en él.

Me salen otros cuatro valores $\alpha=3,-1, \frac{13\pm\sqrt{601}}{12}$ para los que se obtienen dos puntos de corte sobre la bisectriz, pero sólo hay tangencia en uno de los puntos.

Responde

josejuan

23/02/2010 14:17

Esas dos curvas son la misma reflejada sobre la recta (puesto que se han intercambiado los ejes de una a otra). Por lo tanto, si un punto de pertenece a la primera curva, su reflejo pertenece a la segunda (y al revés), por tanto, los únicos valores de ‘x’ que nos sirven (y respectivamente de ‘y’) son aquellos que, permanecen invariantes por el «reflejo», es decir, se debe cumplir que y despejando ‘x’ tenemos 4 valores posibles [1] [2] [3] [4] por otra parte la condición de tangencia 1 y -1 queda expresada por las expresiones [a] [b] despejando 8… Lee más »

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cdrman

23/02/2010 14:36

Bufff, que mal!! Ni idea, no tengo ni puta idea.

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josejuan

23/02/2010 15:26

Vaya, mucho más sencillo usando directamente $x=y$ …

Condición de reflexión:
[1] $x=ax(x+1)+\frac{1}{24}$

Condición de tangencia:
[a] $a(2x+1)=1$
[b] $a(2x+1)=-1$

Soluciones:
[1,a] $\frac{2}{3},\frac{3}{2}$
[1,b] $\frac{13}{12}-\frac{1}{12}\sqrt{601},\frac{1}{12}\sqrt{601}+\frac{13}{12}$

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Javier

23/02/2010 15:41

Josejuan
¿porqué pones la condición de tangencia [b] ?
Al ser especulares respecto de x=y, creo que sólo tiene sentido que sean tangentes en esa recta, bisectriz del primer cuadrante (tu condición de tangencia [a] ).

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josejuan

23/02/2010 15:45

Javier, si las curvas tienen por tangente 1 entonces ambas curvas «pasan suavemente» (son tangentes a) la recta x=y, mientras que si las curvas tienen por tangente -1 entonces ambas curvas «pasan suavemente» (son tangentes a) la recta x=-y.

Ambos casos deben tenerse en cuenta, pues en ambos, las dos curvas son tangentes a dichas rectas (y por tanto entre ellas).

Responde

josejuan

23/02/2010 15:55

(cuando digo las rectas x=y o x=-y quería decir familia de paralelas a, puesto que hablamos de tangente)

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orlin

23/02/2010 15:57

Ups, sí me confundí al escribir el discriminante.

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josejuan

23/02/2010 16:15

Por paramétricas también sale, aunque los cálculos son algo más feos.

Sean las curvas
$f(t)=(at(t+1)+\frac{1}{24},t)$
$g(h)=(h,ah(h+1)+\frac{1}{24})$

Los vectores directores en cada caso vienen dados por las derivadas parciales de cada componente

$\frac{\partial f(t)}{\partial t}=(a\left( 2t+1\right) ,1)$
$\frac{\partial g(h)}{\partial h}=(1,a\left( 2h+1\right) )$

¡Ojo que no están normalizadas las normales!

La condición de intersección (el punto tangente) viene dada por las dos ecuaciones

$at(t+1)+\frac{1}{24}=h$
$ah(h+1)+\frac{1}{24}=t$

y la de tangencia la sacamos haciendo el producto escalar y obteniendo 1 ó -1, pero como debemos normalizar los vectores, ambos los dividimos por su módulo y al elevar al cuadrado nos quitamos la fea raíz cuadrada, quedando la condición de tangencia como

$\frac{\left( a\left( 2t+1\right) +a\left( 2h+1\right) \right) ^{2}}{(a^{2}(2h+1)^{2}+1)(a^{2}(2t+1)^{2}+1)}=1$

Responde

orlin

23/02/2010 17:15

como dice M el discriminante que tenía que haber puesto era:
$\Delta = (\alpha -1)^2 - \frac{\alpha}{6}$ , y eso es igual a 0 para $\alpha = \frac{3}{2},~~\frac{2}{3}$

valores que ya se han dicho y en los que las curvas se cortan en un único punto.

un saludo!

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23/02/2010 22:06

Parece que las curvas (parábolas de 2º grado) son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante, o sea, la recta y=x, y solo respecto de esa recta. En este caso, los puntos en común estarán en y=x. Y su tangente, en caso de tener, será también y=x. En caso contrario y=x sería secante a las curvas, y no existirían tangentes comunes. Por lo que la única tangente común es y=x, con pendiente 1. Al derivar cualquiera de las dos expresiones con respecto a x, dar valor 1 a y’, y despejar alfa, la expresión es la misma en los… Lee más »

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Ñbrevu

23/02/2010 22:14

Aunque nos piden un , lo que tenemos que resolver es un sistema de ecuaciones en el cual tenemos que encontrar también un punto en el cual se verifica la tangencia. Las condiciones necesarias son: La ecuación se verifica, esto es, el punto está en la primera curva. La ecuación se verifica, esto es, el punto está en la segunda curva. La recta tangente a ambas curvas es la misma en el punto en cuestión. Esto es, la pendiente es la misma. Definamos y . Entonces la tercera ecuación se puede expresar así: . No nos estamos dejando fuera ninguna… Lee más »

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Ñbrevu

23/02/2010 22:27

Pues al mostrar las gráficas no parecen tangentes :(. Supongo que me he equivocado al plantear la tercera ecuación, pero no veo el error.

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Antonio QD

23/02/2010 22:32

Buenas noches Esta mañana usando el razonamiento de ÑBrevu y el hecho de que las parabolas por su expresión son simétricas con respecto a la recta y=x calcule a mano los valores de ; obtenía exactamente los valores que ya ha calculado josejuan. Por curiosidad comprobe con el programa GEONExT la gráfica de las distintas parabolas y sus puntos de tangencia; y debo decir que dos de las soluciones, en concreto las que corresponden a efectivamente son cortadas en el punto de tangencia por la recta y=x, pero la misma no es tangente a las parabolas, la recta tangente a… Lee más »

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josejuan

24/02/2010 10:05

Por ejemplo:

http://jose-juan.computer-mind.com/jose-juan/img/gauss/grafica457.png

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24/02/2010 11:46

josejuan, para $\alpha=3,-1$ también se obtienen gráficas como en los casos $\alpha=\frac{13\pm\sqrt{601}}{12}$ .

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josejuan

24/02/2010 12:17

Para a=3, las dos curvas pueden ser expresadas de forma explítica como:

$f(x)=3x(x+1)+\frac{1}{24}$
$g(x)=-\frac{1}{12}\sqrt{2}\sqrt{24x+17}-\allowbreak \frac{1}{2}$

(ésta segunda, tiene dos ramificaciones que corresponden con los signos de la raíz cuadrada, tomamos la negativa para tener la intersección que nos interesa)

Despejando x en

$g(x)=f(x)$

tenemos una única solución real que es

$x=-\frac{1}{12}\sqrt{2}\sqrt{7}-\frac{1}{3}$

las derivadas en ambos casos son

$F(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x}=\allowbreak 6x+3$
$G(x)=\frac{\partial g(x)}{\partial x}=\allowbreak -\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{24x+17}}$

que en el punto de corte dan

$F(-\frac{1}{12}\sqrt{2}\sqrt{7}-\frac{1}{3})=\allowbreak 1-\frac{1}{2}\sqrt{2}\sqrt{7}=\allowbreak -0.870\,83$
$G(-\frac{1}{12}\sqrt{2}\sqrt{7}-\frac{1}{3})=\allowbreak -\frac{1}{5}\sqrt{14}-\frac{2}{5}=\allowbreak -1.\,\allowbreak 148\,3$

lo cual indica que en dicho punto las curvas no son tangentes.

Si no me he equivocado claro…

Responde

24/02/2010 15:13

Muy buenas esas gráficas de joséjuan. Amén.

Responde

25/02/2010 00:22

josejuan, el tema es que para esos valores hay dos puntos de corte, no sólo uno. Los valores $\alpha=3,-1$ los obtuve de restar ambas ecuaciones

$y-x=\alpha(x-y)(x+y+1)$

y determinar posibles puntos de tangencia que no estuvieran sobre la bisectriz, es decir: $x+y+1=-\alpha^{-1}$ . Sin embargo, al imponer la condición de tangencia en este caso también obtuve finalmente $x=y$ para esos dos valores de $\alpha$ .

Para esos valores las gráficas se cortan en dos puntos, pero sólo hay tangencia en uno de ellos (al igual que ocurre en el caso $\alpha=\frac{13\pm\sqrt{601}}{12}$ ).

Gráfica $\alpha=3$

Gráfica $\alpha=-1$

Responde

josejuan

25/02/2010 10:23

¿eihn? «M», de los dos puntos que genera cada solución (a=3,a=-1) uno de ellos es obviamente no tangente, de ahí que en https://gaussianos.com/curvas-tangentes/#comment-33595 me centrara sólo en el que parece que son tangentes. Porque lo que ocurre es que parece que son tangentes, en una ampliación para a=3 tenemos http://jose-juan.computer-mind.com/jose-juan/img/gauss/curva_M.png De todas formas, podría ser (no es el caso) que ampliaramos más todavía y volvieran a ser tangentes (visualmente), de ahí, que yo me centraría en https://gaussianos.com/curvas-tangentes/#comment-33595 para demostrar que NO son tangentes en ese punto. O dicho de otra forma, ¿que falla en mi anterior demostración de que en… Lee más »

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josejuan

25/02/2010 10:24

(Quizás tu fallo ha sido dibujar las dos gráficas con el mismo color, y entonces «sí parecen tangentes»)

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mper23

25/02/2010 12:17

En las gráficas de josejuan se ve que con $\alpha= \frac{2}{3}$ y $\alpha= \frac{3}{2}$ las curvas son sólo tangentes, mientras que en los otros casos son además secantes. Otra cosa: no usé derivadas.

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25/02/2010 13:43

De acuerdo, josejuan, he revisado las cuentas con más calma, y efectivamente no hay lugar para $\alpha=3,-1$ , sólo para $\alpha=\frac{13\pm \sqrt{601}}{12}$ .

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Dani

27/02/2010 18:06

Problema:
Demostrar que para todo $n \in \mathbb{N}$ existen infinitos números de fibonacci divisibles por $n$ .

Responde

28/02/2010 00:10

Dani, en https://gaussianos.com/factores-de-los-numeros-de-fibonacci/ se resuelve esa cuestión (y algunas más).

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Dani

28/02/2010 00:32

jejejej siempre me pasa lo mismo! a ver si con esta:
Problema:
Demostrar que la sucesión de fibonacci es periódica módulo cualquier $n$ natural.
(Esto es, que la sucesión $F_k^n=$ «resto obtenido al dividir $F_k$ entre $n$ » es siempre periódica )