IMO 2013 en Santa Marta (Colombia) – Problema nº 4

Cuarto problema de la IMO 2013 celebrada en Colombia:

Sea ABC un triángulo acutángulo con ortocentro H, y sea W un punto sobre el lado BC, estrictamente entre B y C. Los puntos M y N son los pies de las alturas trazadas desde B y C respectivamente. Se denota por \omega _1 la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo BWN, y por X el punto de \omega _1 tal que WX es un diámetro de \omega _1. Análogamente, se denota por \omega _2 la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo CWN, y por Y el punto de \omega _2 tal que WY es un diámetro de \omega _2.

Demostrar que los puntos X, Y y H son colineales.

Espero vuestras soluciones.

Author: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

7 Comments

  1. No ha parseado bien una fórmula

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  2. Juanjo, la fórmula debe ser simplemente w_1. Vamos con el problema.

    Sea F el otro punto en que se cortan w_1 y w_2. Los ángulos WFX y WFY son rectos porque abarcan sendos diámetros. Por tanto X, F e Y están alineados. La circunferencia que pasa por A, M y N, pasa también por H y F, pues los cuadriláteros MANH y MANF son inscriptibles.

    Tenemos que el ángulo MFY = 180º – C – 90º = 90º – C y que el ángulo MFN es 180º – A. Y el ángulo NFH = NAH, por estar inscritos en la misma circunferencia. Pero NAH = 90º – B. Entonces, para el ángulo YFH tenemos:

    YFH = YFM + MFN + NFH = 90º – C + 180º – A + 90º – B = 180º

    Por tanto Y, F y H estan alineados y como X, F e Y tambien, lo estan los cuatro.

    Vease el applet: http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/IMO2013_4.html

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  3. Magnifica esta página de gaussianos, muy interesante para los amantes de las matemáticas, sobre el problema, hubiera sido bueno que indicaran la grafica del triangulo, ¿no creen?

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  4. Ey Eder Contreras, magnífico vídeo, la verdad! Mostráis pasión!

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Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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