Vamos con el problema de esta semana, que en esta ocasión tiene que ver con factoriales y números irracionales. El enunciado es el siguiente:
Sea
el último dígito no nulo (comenzando por la izquierda) de la representación decimal del factorial de n,
, con
. Demostrar que el número
es irracional.
Que se os dé bien.
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No debo de haber entendido el problema porque me parece trivial.
Esperaremos a ver…
Yo tampoco debo de haberlo entendido bien porque creo que cualquier número con una cantidad finita de decimales, n, siempre es racional.
El número comienza por
pero no tengo idea de como seguir para hacer la demostración de número irracional.
un número es racional si lleva una secuencia en sus decimales, o sea, que se repitan. Por otro lado, siguiendo la idea del factorial, el i-ésimo decimal es en resumen, el producto entre el decimal y el último dígito no nulo (llamémoslo ) de . Si este producto se repitiese llevando alguna secuencia, estaríamos frente a un número racional. Sin embargo, el valor no nulo nunca lleva una secuencia, trato de explicarlo: en el momento en que pasa a las decenas o centenas o unidades de mil una nueva secuencia comienza, la cual nunca se repetirá. Por lo tanto sí… Lee más »
A ver, si lo he entendido bien, yo lo resolvería así:
Si existe un periodo, entonces éste tiene tamaño finito, digamos
, en tal caso, es claro que el último dígito no nulo de 
debe ser 
¡pero todos los últimos dígitos no nulos son pares! (a partir de 1, claro).
Vaya, ¿ya no se pueden editar los comentarios?, más que nada por borrar el mío…
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Vamos con el problema de esta semana, que en esta ocasión tiene que ver con factoriales y números irracionales. El enunciado es el siguiente: Sea el último dígito no nulo (comenzando por la izquierda) de la representació……
Mira que va a ser racional…
[…] Demostrando irracionalidad […]
Me gusta la idea de Julián, gracias a él entendí de qué se trataba realmente el problema, y de paso, vi el bosquejo de su prueba la cual me parece particularmente interesante.
Post Comment: Julián…eres de Perú?
Sólo veo que la secuencia (a partir del quinto elemento) se compone de la concatenación de estas cuatro secuencias de cinco elementos: A=(2,2,4,2,8) B=(4,4,8,4,6) C=(6,6,2,6,4) D=(8,8,6,8,2) Por ahora no veo cómo mostrar que esa concatenación no puede seguir un patrón cíclico.
Aquí les va los primeros 1000 decimales del número en cuestión: 0.12642242888682162648868216264224284484644846386821 12642242888682162648868216264224284484644846386822 24284484666264224286626422428448463868288682162642 24284484666264224286626422428448463868288682162648 86821626444846386824484638682662642242822428448463 36821626444846386824484638682662642242822428448468 86821626444846386824484638682662642242822428448463 36821626444846386824484638682662642242822428448464 48463868222428448462242844846886821626466264224284 48463868222428448462242844846886821626466264224284 48463868222428448462242844846886821626466264224284 48463868222428448462242844846886821626466264224288 86821626444846386824484638682662642242822428448463 36821626444846386824484638682662642242822428448462 24284484666264224286626422428448463868288682162642 24284484666264224286626422428448463868288682162642 24284484666264224286626422428448463868288682162642 24284484666264224286626422428448463868288682162646 62642242888682162648868216264224284484644846386821 12642242888682162648868216264224284484644846386822 Aparentemente se ven algunas secuencias que podrían llevarnos a pensar de que se trata de un número racional. Pero como dije anteriormente, el último dígito no nulo de intenta llevar una secuencia, pero en el momento en que se pasan de unidades a decenas o centenas, una nueva secuencia comienza. Sería algo así, esta es la lista de los últimos dígitos de no nulos: 1234567891 1234567892 1234567893 (como se… Lee más »
Este es mi primer comentario en gaussianos así que espero no meter mucho la pata… Bueno, a lo que vamos. Supongamos que es racional, entonces ha de ser periódico así que existe tal que para un cierto suficientemente grande. Podemos expresar tal que 5 no divide a N Sea (Utilizaré el simbolo * para referirme al último dígito no nulo) Entonces y como 5 no divide a N tampoco lo hara 10, así que y también tenemos que Tomando M de tal manera que y además se tenga que para todo y puesto que es un múltiplo de también se… Lee más »
Así, muy por arriba, lo de Baltor me suena bien, no lo veo muy lejos de lo que yo estaba intentando.
Julián: creo que debe haber un error en tu secuencia, no deberían aparecer cifras impares.
El 1 no puede ocurrir otra vez en la secuencia porque los ultimos numeros no nulos de los factoriales son pares, la demostracion de josejuan me parece correcta
Sí, Hernán tiene razón, estaba equivocado en mis cálculos. Este es mi resultado de los primeros 1000 decimales: 0.12642242888682886824484644846886822242822428662642 24284484666264662648868244846886822242822428662644 48468868222428224286626488682662644484644846224282 24284484666264662648868266264224288868288682448462 24284484666264662648868222428448466626466264886828 86826626444846448462242822428448466626466264886826 62642242888682886824484622428448466626466264886822 24284484666264662648868222428448466626466264886828 86826626444846448462242844846886822242822428662648 86826626444846448462242888682662644484644846224284 48468868222428224286626466264224288868288682448468 86826626444846448462242866264224288868288682448466 62642242888682886824484666264224288868288682448464 48468868222428224286626422428448466626466264886824 48468868222428224286626444846886822242822428662648 86826626444846448462242822428448466626466264886826 62642242888682886824484622428448466626466264886822 24284484666264662648868288682662644484644846224282 24284484666264662648868266264224288868288682448462 24284484666264662648868222428448466626466264886822 Mi explicación sigue siendo la misma que comenté arriba. isaacv5: la periodicidad no tiene porqué comenzar a partir del primer decimal (o sea «1»), puede ser desde cualquiera. Baltor: le haz dado un toque más formal que es lo que quería hacer. Pero aun me queda una duda y es por qué defines si en principio no tiene por que ser múltiplo… Lee más »
Julián: en ningún momento digo que
tenga que ser múltiplo de 5, la k podría ser 0, y en ese caso 
no sería múltiplo de 5, pero quizás debería haberlo dicho para que quedara más claro.
Entiendo que k puede ser cero. He escrutado durante media hora la demostración y por alguna razón parece que se trata de asegurarse de que N no es múltiplo ni de cinco (ni de diez, por tanto).
Me ha costado otra media hora leerlo. Para este logro he seguido la máxima que les doy a los alumnos: ante la duda, pon paréntesis.
Parece una forma interesante de generar números transcendentes. Me pregunto si se podrá hacer con otras funciones además de n!
http://home.wlu.edu/~dresdeng/papers/two.pdf
Je, qué casualidad… casi las mismas letras que la de Baltor 😉
Sí, que casualidad… los pasos del desarrollo coinciden punto por punto.
Ya puestos, la sucesión de los dígitos es la A008904 y los métodos para obtenerlos (muy eficientes) son muy curiosos.
El que más me ha gustado (aunque el de la máquina de estados es muy elegante) es la siguiente recursiva (en python):
def a(n):
if n<=1: return 1
return 6*[1,1,2,6,4,4,4,8,4,6][n%10]*3**(n//5%4)*a(n//5)%10
tiene la ventaja de que si se quieren enumerar todos usa memoize.
En mi modesto Atom en menos de 60 segundos saca los primeros 1 millón.
Interesante documento!. Ya entiendo por qué Baltor comenzó la demostración con : Existen grupos de decimales de dígitos los cuales se repiten sin una secuencia definida (como ya lo había precisado hernán), pero curiosamente también sucede lo mismo si se cogen grupos de dígitos, o grupos de dígitos, es decir, existen grupos de dígitos en los decimales los cuales se repiten como bloques en «determinado» orden indefinidamente. Ahora, si suponemos que el número en cuestión es un número es racional, entonces el tamaño de su periodicidad debe ser como mínimo múltiplo de este bloque de dígitos, debe ser múltiplo sin… Lee más »
Conozco a Baltor y sé que si hubiese visto ese documento no se habría molestado en reescribirlo aquí.
Doy fe de que Baltor lo sacó por su cuenta, pero la verdad es que es curiosísimo que las demostraciones sean tan parecidas.
En otro artículo del mismo autor se demuestra que el número en cuestión también es trascendente http://home.wlu.edu/~dresdeng/papers/lnzd2a.pdf
Indico una ligera variante a la prueba de Baltor: supongamos por reducción al absurdo que para . 1) Como resulta . 2) Existen naturales > tales que (multiplo de ). En efecto: poniendo con , tendremos que es múltiplo de (función phi de Euler). Sea y . Entonces: que es múltiplo de . 3) Tomemos . Entonces, el último dígito no nulo de es 5. En efecto: El último dígito no nulo de es 9. Como , si , ya que debe tenerse que el dígito de las unidades de es , y por tanto la única posibilidad es .… Lee más »
creo que no os entiendo mucho, pero esta genial todo