Segunda entrada de hoy relacionada con el día de Pi (como no podía ser menos). Después de conocer a algunos matemáticos que nacieron un día de Pi, 14 de marzo, vamos a ver ahora una relación existente entre \pi y el conjunto de Mandelbrot

(Hipotético) Lector (que no tiene por qué conocer el 100% de los aspectos relacionados con Pi): Un momento, un momento…Veamos. Pase que \pi aparezca en las situaciones más insospechadas, como en la probabilidad de que dos números elegidos al azar sean coprimos, o en un experimento con una aguja, o hasta en ciertas series infinitas, pero ¿qué pinta junto al conjunto de Mandelbrot? Venga ya, ¿también va a aparecer \pi en este fractal?

Pi y el conjunto de Mandelbrot

Aunque seguro que lo conocéis todos, el conjunto de Mandelbrot, \mathcal{M}, es la parte del plano complejo que aparece en negro en la siguiente imagen

Conjunto de Mandelbrot

(Imagen tomada de la Wikipedia en español.)

En concreto, podemos decir que \mathcal{M} se define como los números complejos c para los que el método iterativo z_0=0, \; z_{n+1}=z_n^2+c genera una sucesión convergente. Entre otras cosas se sabe que si un número complejo tiene módulo mayor o igual que 2, entonces el método diverge. De hecho, si en algún momento aparece un número complejo de módulo mayor o igual que 2 en la sucesión se sabe que el método será divergente.

Si giramos el conjunto 90º hacia la derecha y nos imaginamos que representa a una persona, creo que todos estamos de acuerdo en qué es lo que sería el cuello y qué es lo que representaría…ejem…la parte trasera (sí, exactamente lo que estáis pensando), ¿verdad?

Bien, para ir dando datos os comento que el cuello, que llamaré A, está en el punto (-3/4,0) del plano complejo, y el trasero, que llamaré B, en el (1/4,0).

En 1991, Dave Boll, un estudiante de la Universidad de Colorado State, se encontraba jugando con este fractal (como hemos hecho muchos en alguna ocasión). Una de las características de este conjunto \mathcal{M} que Dave quería mostrar es que el cuello está formado por un único punto, el punto A. Con este propósito comenzó a estudiar cuántas iteraciones hacían falta para que puntos cercanos a A dieran un número complejo con módulo mayor o igual que 2 en la sucesión generada por el método iterativo, esto es, cuántas iteraciones hacían falta para saber que esos puntos no pertenecen a \mathcal{M}.

Bien, tomó puntos de la forma (-3/4, \epsilon), para \epsilon=1, 0.1, 0.001, \ldots, obteniendo la siguiente tabla:

Uhmmm…parece que el número de iteraciones me suena…sí, son los dígitos de \pi. De hecho, si multiplicamos \epsilon por el número de iteraciones lo que obtenemos son aproximaciones cada vez mejores del número \pi. Pero bueno, supongo que será una casualidad como otra cualquiera…

Pero nuestro amigo Dave no se quedó ahí. Estudió también que ocurría con puntos cercanos a B, pero ahora de la forma (1/4+\epsilon,0), obteniendo la siguiente tabla:

Parece que algunos de los valores del número de iteraciones también se aproxima a \pi. Pero es mucho mejor de lo que parece: si multiplicamos la raíz cuadrada de \epsilon por el número de iteraciones tenemos que todos los resultados son aproximaciones cada vez mejores de \pi. Estooo…¿también ahora es una casualidad?

Al darse cuenta de estos curiosos resultados, Dave publicó un post en el grupo sci.math de Google Groups comentando el tema (además de publicarlo en su propia web) y Gerald Edgar, profesor de la Universidad de Ohio State, se interesó por el caso, abriendo una serie de debates en los años posteriores que podéis consultar en esta web (bajad un poco hasta Chronology of posts).

El problema es que no parece que haya una demostración completa de que en el caso del punto A ese producto se aproxime cada vez más a \pi, pero sí la hay para el punto B. Este trabajo de Aaron Klebanoff del año 2001 da una demostración de que para el punto B=(1/4+\epsilon,0), con N(\epsilon) el número de iteraciones para un cierto \epsilon, se cumple que:

\displaystyle{\lim_{\epsilon \to 0^+} \sqrt{\epsilon} \cdot N(\epsilon)= \pi}

Esto es, demuestra que el producto de la raíz cuadrada de \epsilon por el número de iteraciones necesarias para que la sucesión diverja con ese \epsilon se aproxima cada vez más al número \pi conforme \epsilon se hace más pequeño. Impresionante.

Pero aún hay más. En ese paper también se muestra que la ruta parabólica (-5/4-\epsilon^2,\epsilon) también cumple algo parecido respecto del punto C=(-5/4,0), que es éste:

Al parecer este hecho fue puesto en relieve por Jay Hill en 1997. Concretamente lo que ocurre es que 2 \cdot \epsilon \cdot N(\epsilon) se aproxima cada vez más a \pi:

Y para terminar el trabajo, Aaron Klebanoff conjetura que existen infinitos puntos para los cuales hay una función que relaciona \epsilon y el número de iteraciones, del tipo a \epsilon^b N(\epsilon), que acaba tendiendo a \pi. Interesante y curiosísimo problema abierto…que si no me equivoco sigue en el aire.


Este artículo es mi segunda contribución a la Edición 2.2 del Carnaval de Matemáticas, que, como ya sabéis organiza este blog.

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