El problema de esta semana vuelve a tener al número 2010 como protagonista. En este caso me lo han enviado un grupo de profesores de matemáticas de Pastrana, un pueblo de Guadalajara. Vamos con él:
Calcula todos los posibles valores naturales de la siguiente suma:
donde
son todos números naturales.
Suerte.
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Dependiendo de lo que valgan los valores de
puede dar una cosa u otra.
¿cuánto vale
?
La suma podrá tomar cualquier valor natural entre 1 y 2021055.
Francisco, lo que pide es determinar todos los valores naturales posibles para S sabiendo que los
son también naturales. M, ¿cómo llegas a esa conclusión? El mayor valor posible para S es dejar todos los denominadores a 1, por lo que S valdría 2021055. Si todos lo denominadores los ponemos con el valor 2021055, entonces S valdría 1. Pero, ¿cuál sería la fórmula para obtener cualquier otro valor?
Para poder llegar a 2021055 debe permitirse que todos los
para cada 
lo que no parece razonable (que por ejemplo sea 
).
Si se asume que no puede haber dos a iguales entonces el máximo se obtiene de asignar el menor denominador posible al mayor numerador posible, el problema está en que «a ojo» parece que debiera ser división entera, sin embargo sólo exigen que la suma total sea entera por lo que múltiples combinaciones de fracciones irracionales podrían aportar un sumatorio natural (redondeado).
Habrá que seguir pensando…
josejuan, el enunciado sólo restringe que los
sean naturales, por supuesto que pueden ser iguales para cualquier i. Yo intuitivamente pienso como M, pero no sé cómo demostrarlo. Es fácil ver que podemos convertir cualquier número de sumandos en 1 o en el valor de la suma de los numeradores, y dado un número cualquiera, por ejemplo el 7, pues basta con tener 
y el resto de 
igual a la suma del resto de numeradores. Pero no sé cómo definir una fórmula que valga para cualquier número.
no entiendo por qué nos empeñamos en suponer más cosas que las que nos dicen. en ningún momento se indica que los
debán ser todos distintos, por lo que no lo supondremos. M tiene razón, y se puede ver de está forma:
para
para 
y 
esto nos da los valores
para
para 
y 
esto nos da los valores
seguid por ahi y obtenéis lo que dijo M
Yo razoné inductivamente: asumiendo que la suma con
sumandos (
) toma todos los valores entre 1 y 
, vemos que la suma con 
sumandos, 
, toma:
– el valor 1 para
;
– el valor
para 
;
– los valores
tomando 
, y los restantes 
de modo que 
tome un valor entre 1 y 
(hipótesis de inducción: 
);
– los valores
tomando 
, y como en este caso 
habrá que elegir 
de modo que 
tome un valor entre 1 y 
(de nuevo por la hipótesis de inducción).
Uhm… yo no me empeño en nada, pero precisamente en el problema de FELIZ AÑO = 2010 supuse que se podía hacer F=A y resultó que no, que alguien me explique porqué allí no y aquí sí. En cuanto a suponer más cosas de las que nos dicen, si no lo haces, el enunciado es directamente erróneo, puesto que dice que «…donde son todos números naturales…» cuando obviamente no pueden serlo, luego debe suponerse (sí, aunque no lo diga el enunciado) que el conjunto formado por las 2010 aes es un elemento de las combinaciones de todos los naturales tomados… Lee más »
«…son todos números naturales…» quiere decir que todos esos números son naturales. SI quisiera decir lo que tu creo que insinuas tendría que poner «… son todos LOS números naturales» así que creo que el enunciado está perfectamente redactado y en este caso si tomamos el enunciado de manera literal si que habrías supuesto algo que no se exige en el enunciado. Caso a parte es el del otro problema de FELIZ AÑO = 2010. Si se tomaba el enunciado de manera literal entonces tu tendrías razón que nada impediría que E=F. De todas maneras yo ahí también interpreté que… Lee más »
Tienes razón, no pone los y por tanto el enunciado no es erróneo, aunque se mantiene la ambigüedad en cuanto a si se admite repetición o no. «…no puedo darte una razón muy buena…», no, 😉 realmente no es buena, puesto que eso reafirmaría mi hipótesis al ser el problema mucho más difícil si no se admite repetición (así a ojo) y en cualquier caso, sigue siendo arbitraria la elección. Sí, aunque no quise expresarlo, Dani ha sido brusco y ese es el motivo de que pusiera el «En fin» delante de la disculpa, no era ironía, sino una forma… Lee más »
A mi entender el enunciado deja claro que los
’s son arbitrarios y por tanto podrían ser iguales.
No obstante, también es curioso preguntarse por los posibles valores asumiendo que todos los
’s son distintos dos a dos, en cuyo caso la suma tomará los valores entre 1 y 
. Es decir, ahora cambia la cota 
por 
, para 
.
Perdón
!! Si es que mucha inducción y tal, y luego nos olvidamos hasta de restar 😀
Otra variacion interesante al problema seria exigir que todos los cocientes que intervienen en la suma fuesen naturales. En este caso las sumas estarian acotadas entre 2010 y 2021055, pero no creo que ahora sea posible obtener todos los valores intermedios.
Dado que no se mucho de temas combinatoria, me he puesto a revisar algunos patrones en los que por supuesto este en las condiciones de pertenecer a los naturales. Bueno, empiezo por recolectar lo que ya han dicho: Si , entonces se tiene que De aqui se dedujo que si entonces (Tratemos de ser un poco mas explicitos para los que no lo vemos a primera vista), si , entonces S no es natural y no cuenta ese patron. Lo que agrego es otros cuantos: Si , entonces S=1+1+1…+1(2010 veces) y entonces (Nuevo resultado) Si siguel patron de los numeros… Lee más »
«Ty=Tobar», para obtener todas las posibles, «sólo» hay que formar las combinaciones de todos los divisores de todos los numeradores, por lo que hay millones de formas de combinar los denominadores para obtener muchos S (entre 2010 y 2021055). Algunas de ellas las has mostrado tú. El problema al que apunta «vengoroso» (creo yo) es el de determinar si hay algún S (o varios) para los que no es posible encontrar una combinación de cocientes. Si puedes determinar eso, entonces, en palabras de «vengoroso» «tendrías todos los valores intermedios» (posibles). (Por ejemplo, aunque todos los números fueran primos, habría 2^2009… Lee más »
La cuestión que plantea vengoroso también tiene respuesta positiva, es decir podemos elegir naturales tales que , , tales que la suma toma todos los valores entre y . Una vez más se puede probar por inducción. Para los casos es fácil de ver. Supongamos ahora que y asumimos que la suma toma todos los valores entre y . Para ver que cubre todos entre y basta elegir o , ya que: – si , entonces recorrería todos los valores entre y ; – si , entonces recorrería todos los valores entre y . Así para cubrir desde hasta bastará… Lee más »
…quise decir al final «nos da
» (con lo cual vale la inducción desde 
).
perdón por el lapsus: la desigualdad se verifica
para todo 
!
A ver.. Pensemos.. Lo que YO entiendo, es.. Dada la suma desde 1 hasta 2010, siendo cada término dividido por algún número natural (los cuales pueden repetirse), cuántas posibles sumas que den como resultado números naturales hay? Pero no es difícil ver que se puede calcular cualquier número, siendo el mayor 2021055, y el menor 1, pues si .. Vemos cuales son los valores intermedios.. Para empezar, podría tomar cualquier valor desde 1 hasta 2010, ¿Cómo? Simple, si hacemos y hacemos de esa forma, vamos obteniendo el valor j + 1. Ya vimos que se pueden obtener todos los números… Lee más »
sí, fui un poco brusco, así que te pido disculpas, josejuan. de hecho el comentario pretendía ser de broma y no discriminatorio en absoluto.
Lo más fácil seria que $LaTeX a_n = n$. Entonces da 2010.
Otra opción sería que todos los $LaTeX a_n $ fueran 1 y la suma da 2021055.
Lo que yo entiendo por
es que sean números naturales cualesquiera.. Y es así cómo resolví el problema en el post anterior..
Primero había pensado en combinatoria, pero era imposible.. Entonces cuando pensé cuál podría ser el menor número, me di cuenta que no era difícil ver que cualquier número entre 1 y 2011*2010*2 era posible.. y que éste último era el máximo.
¿cuánto vale an?
Un saludo
real madrid, no esta patronizada
La solución es un conjunto de m elementos en R tal que 2019045 <= m <= +infinito.
Es una suma de gauss. +infinito sale de hacer los 2010 denominadores, casi cero.
2019045 es, con a1 hasta a2010 iguales a 1, la suma de los n primeros naturales con todos los denominadores iguales a 1.