Vamos con dos problemas sobre desigualdades para este martes:
Problema 1
Dados dos números reales positivos
tales que
demostrar que:
Problema 2
Muy parecido al anterior, pero algo más complicado:
Dados tres números reales positivos
tales que
demostrar que:
Suerte.
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Sea
definida para
. Es obvio que
es continua y diferenciable en ese intervalo. Su derivada es:
que es claramente positiva en todo punto, por lo que la función es monótona creciente, probando (a).
Alternativa: se puede escribir
. Al aumentar
el segundo término disminuye, y como va con signo negativo la función crece.
Para la segunda afirmación, observemos que:
Recordando que los números implicados son estrictamente positivos tendremos, pues, que:
Pero
>
>
, y como la función es monótona
>
, que era lo que queríamos probar.
En otro orden de cosas, no me funcionan los símbolos > y
El problema 1
Suponemos lo contrario, que a >= b, entonces tenemos que:
El primer miembro es un número comprendido entre 0 y 1, y el segundo miembro es también un número comprendido entre 0 y 1, pero más cercano a 1 que el primer miembro. Por lo tanto no se cumple la desigualdad.
Ya que el limite de a/b (siendo a y b dos numeros reales positivos y b>=a) cuando tiene a infito es 1.
Saludos!
Ehmmm… decía que no me van > y < en LaTeX, que si será cosa de que se procesan como HTML.
(siendo a y b dos numeros reales positivos y a>=b)
Perdón
Solución alternativa al problema 2 (supuesto que sabemos que
es estrictamente creciente en los reales positivos (uso «menor o igual» en vez de «menor» por los problemas con el HTML):
Si
entonces
, esto es,
ahora, como
es positivo, tenemos que
, y por tanto
Analogamente,
y sumando las dos desigualdades a la anterior tenemos el resultado.
¡Epa! se me olvidó escribir «latex» después de cada $. Deformación profesional :oP
Problema 1 Dados dos números reales positivos a, b tales que a < b demostrar que: a/(1+a) < b/(1+b) a/(1+a) = (1+a -1)/(1+a) = 1 – 1/(1+a) a < b => 1+a < 1+b => 1/(1+b) < 1/(1+a) Esta desigualdad se ha obtenido diviendo la anterior por (1+a)*(1+b) … (al ser a y b positivos, 1+a y 1+b son positivos…) Bastaría a,b mayores que -1 (o bien ambos menores que -1), de forma que el signo de (1+a) sea el mismo que el de (1+b) y el producto sea siempre positivo. => -1/(1+a) < -1/(1+b) => 1 – 1/(1+a) <… Lee más »
el razonamiento de pasotaman en el segundo caso no conduce tan directamente a la demostración (justamente en el último paso al aludir a la monotonía de la función). No obstante, queda subsanado el lapsus con el comentario de vengoroso:
¿Para qué seguir dando demostraciones (más enrevesadas) de lo que ya ha sido demostrado con tanta simplicidad?
Más soluciones 🙂
Problema 1:




Problema 2





**los menores los pongo como
Saludos
eso en mi pueblo se llama ir hacia atrás y volver hacia adelante, pero vale… 🙂 🙂 🙂
Me pregunto si no es más sencillo así:
1.-
<
<
<
<
(lo sé, es la solución de Mithril, se me ocurrió la misma)
2.- Aplicamos el primer caso al número
, con lo que tenemos:
<
<
, con lo cual hemos obtenido una inecuación más restrictiva aún que la del enunciado.
Asier, siendo riguroso, no has demostrado nada. Si A -> B, siendo B cierto, no implica que A sea cierto.
Ahora bien, todas tus implicaciones son realmente doble implicaciones, por lo que se puede invertir tu razonamiento y obtener una demostración correcta.
Yassin, creo que nos entendemos. Bastaría con sustituir el símbolo
por
. Lo que me dá qué pensar es que me lo hayas dicho expresamente a mi…
EDITADO POR ^DiAmOnD^ por problemas con las etiquetas. El siguiente comentario tiene la información que traía éste.
Lo intento sin mirar los comentarios de arriba P1: a menor que b a + ab menor que b +ab a(1+b) menor que b(1+a) a/(1+a) menor que b/(1+b) P2: a menor que b + c a + (ac+ab+abc) menor que b+c + (ac+ab+abc) Si sumamos más términos positivos al lado derecho de la desigualdad, será todavía mayor: sumamos a la derecha: (2bc+abc) a + (ac+ab+abc) menor que b+c + (ac+ab+2abc+2bc) Factorizando: a(1+b)(1+c) menorque b(1+c)(1+a) + c(1+a)(1+b) Dividiendo por (1+a)(1+b)(1+c) : a/(1+a) menor que b/(1+b) + c/(1+c) Espero que esté bien. Lo mando otra vez porque antes no ne ha salido… Lee más »
Soy estudiante de Matemáticas, y visito esta web regularmente. Hace poco en una de mis clases se me planteo un problema sobre areas y volúmenes ( que no viene al caso enunciar ), el problema nos fue encargado sólamente para darnos cuenta de cuán complicado podemos hacernos las cosas dependiendo de cuanto sepamos y de qué traigamos en la mente, el problema que les menciono era increiblemente sencillo de resolver, pero muchos de nosotros no pudimos nisiquiera plantearlo por dejarnos llevar por formas mas «complicadas» de intentar resolverlo. Platico esto debido a la demostración que Pasotaman nos da, que aunque… Lee más »
Bien, solucionado. No era demasiado difícil pero está muy bien la variedad de soluciones que habéis mostrado.
Por cierto, Javier te he editado el comentario porque ponía en negrita todo lo que venía después.
vengoroso a ti también te he editado el comentario para poner latex en todas las fórmulas :).
Y otra cosa: ¿por qué a mí no me dan problemas los símbolos < y > dentro de las etiquetas latex? A mí me salen bien poniéndolos tal cual y a muchos os dan problemas. Qué raro.
Saludos 🙂
^DiAmOnD^, intenta escribir un comentario utilizando esos símbolos con latex. Es decir, en la cabecera del post puedes escribirlos bien pero tal vez en los comentarios no…
Puestos a demostrar desigualdades, propongo demostrar que:
Asier me refería a que yo en los comentarios tampoco tengo problemas con esos símbolos. Voy a escribir yo también el problema que acabas de plantear con el símbolo dentro de las etiquetas:
Pues yo también tengo problemas ahora con estos símbolos > <
Respondo a ASIER:
, es
<
.
partamos de que
Supuesto esto, demostremos la desigualdad por inducción:
En efecto esta última desigualda es cierta
<
, lo cual es cierto, pues es lo que hemos supuesto al principio.
Ahora sólo queda probar
<
.
Ésto se prueba viendo que la sucesión
es estrictamente creciente y como
, estaría probado.
Es algo tediosa esta demostración, pero mñás o menos se utiliza el binomio de Newton y se opera un poco para ver que:
Como se puede observar, cada término de
es menor que el correspondiente de
y además
tiene un término (positivo) más.
mucho ojo!! El argumento de Tito Eliatron es incorrecto:
Aquí va mi propuesta:
parto del hecho de que la sucesión
, con
es decreciente y acotada superiormente por 1/2 (y convergente al número
). Esto es sencillo de probar.
Entonces por inducción:
(n+1)! es menor que
y según el comentario inicial tendremos que (n+1)! es menor que
. Y así para cada natural (habiendo comprobado la hipótesis para
).
antiestético: que yo sepa, el número
es (más o menos) 2,7182818284590452353602874713527
es decir, MAYOR ESTRICTO que 2, lueog no hay ningún fallo en mi argumento (que por cierto, es muy similar al que se encuentra en libros clásicos de análisis como CALCULUS de APOSTOL o los ELEMENTOS DE MATEMÁTICAS de Rey-Pastor&Castro
PERDOOOOOOOOON el fallo era que lo que hay que probar (y de hecho lo que se prueba) es que
>2 
PS: el problema fue que como tengo que introducir (con código HTML) los símbolos > y < pues hubo un error al implementarlos
Aquí propongo otra:
Sabiendo que dado un real
, si $latex
\displaystyle a+b=q \Rightarrow\max\{ab\}=\left(\frac q 2\right)^2$ **
Para n par

Para n impar

**es fácil de comprobar que

***todos los menores están como
No se si es más sencilla, pero me parece una linda alternativa a la inducción 🙂
Saludos
Mientras se arregla < y > quizá se puede usar
y
. O bien
y
. ( \prec, \succ, \ll y \gg ).
preciosa demostración Mithril!
Interesante la demostración de Mithril, sí señor.
Y yo sigo sin entender por qué todo el mundo tiene problemas con < y > y yo no :S. De hecho estos que aparecen aquí los he puesto directamente con el teclado, nada de código html. Y como habéis visto en comentarios anteriores tampoco tengo problemas al meterlos en etiquetas latex. Probad a dejar un espacio antes y después del símbolo, yo los pongo y va bien. Y utilizad la vista previa para evitar que los comentarios salgan mal.
Saludos 🙂
no me funciona dejando los espacios ni escribiéndolos directamente desde teclado. La solución de fede parece un buen remedio provisional.
REpito exactaente lo mismo que Domingo H.A.
Tito, Domingo, Mithril: ¡lo habeis hecho muy bien!
Os doy otra demostración basada en que la media geométrica es siempre menor que la aritmética si todos los términos no son iguales:
(teneis información y demostraciones de este hecho en http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means )
Partiendo de la media geométrica:
Y elevándolo a n ya tenemos la demostración.
Problema 1:
a < b
a+ab < b +ab
a(1+b) < b(1+a)
a/(1+a) < b/(1+b)
Y el sentido de la desigualdad no se ha visto afectado porque a y b (y 1+a y 1+b) son ambos positivos.
Problema2:
Del problema 1 sabemos que…
a/(1+a) < (b+c)/(1+b+c)
a/(1+a) < (b+c)/(1+b+c) < (b+c)/(1+c) = b/(1+c)+c/(1+c) < b/(1+b) + c/(1+c)
Salu2
Los ejercicios planteados me han recordado a éste que les propongo a continuación:
EDITADO POR ^DiAmOnD^
Lo he pasado a un post aparte para no mezclar los dos problemas. Podéis verlo pinchando en este enlace.
[…] 2 en Dos problemas sobre desigualdades […]
Hola a todos gaussianos !!! , me llamo Juan David , estudio Ingenieria pero mi verdadera vocacion son las matematicas , y en la universidad el profesor de Matematicas I propone problemas, en el tema de Funciones , los problemas con Maximo Entero, los mas increibles que se puedan imaginar , lo digo en serio …..algo se de matematicas xq me gusta investigar y se cuando algo es de un nivel complicado , no se si estarian dispuestos a colaborar conmigo , necesito ayuda , pues como les digo soy alumno de 1er ciclo recien , de paso que comparto… Lee más »
Como
Solución problema 1.
Como
entonces
luego
Por lo tanto, 
Solución problema 2.
Como
entonces
luego
Por lo tanto, 
Solución problema 1.
Como
entonces
luego 

Por lo tanto,
Solución problema 2.
Como
entonces
luego
Por lo tanto, 