Producto de dos vértices consecutivos

Os dejo el problema de esta semana:

Consideramos un polígono regular de 90 vértices numerados al azar del 1 al 90. Demostrar que siempre podemos encontrar dos vértices consecutivos cuyo producto es mayor o igual que 2014.

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

23 Comentarios

  1. 45 * 46 = 2070

    Eso quiere decir que los vecinos del 45 no pueden números mayores de 45…
    Ni tampoco uno de los 45 diferentes que son mayores que 45 pueden tener un vecino de ese conjunto, eso significa que en una hipotética solución deberían estar alternados… pero una vez colocados alternados no queda ninguna posición posible para el 45.

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  2. matizando el comentario de acido, 44*46 > 2014 por lo que los 45 mayores números (hasta el 46, incluido) sólo pueden tener 44 vecinos, cuando necesitan 46 (en el mejor de los casos.

    En general, para polígonos de N vértices, no se puede contruir con productos inferiores a (N/2+1)*(N/2-1) por esta razón.

    Sin embargo esta cota no es la mejor. Quiero decir que para el caso de 90, 52*38 > 2024 también. Dado un polígono de N lados, si consideramos el mejor orden aquél que ofrece el menor máximo de los productos de los vértices, ¿cuál es dicho máximo?

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  3. Francesc,

    Los 45 mayores números (46, 47, 48… 89, 90) sólo necesitan 45 vecinos, los otros 45, los menores (1, 2, 3 … 44, 45) y 46 vecinos como dijiste.

    Por otro lado, si el 44 tampoco puede ser vecino de ellos (ya que 44*x > 44*46 > 2014) entonces sólo quedarían 43 que sí podrían ser vecinos (43* 46 = 1978)
    Aunque ni siquiera el 43 vale ya que ese 43 tendría 2 vecinos mayores de 45 y aunque el 46 sería un vecino válido el 47 no es válido tampoco.

    Por otro lado, para N par dices que no pueden ser todos los productos inferiores a (N/2+1)*(N/2-1) … pero es que no pueden ser todos inferiores a (N/2+1) * N/2 que es un producto mayor. Para este ejemplo, yo digo que debe haber un producto mayor o igual que 2070 y tú matizas que deben haber uno mayor o iguales que 44*46 = 2024… Evidentemente, si hay uno mayor que 2069 decir que habrá alguno mayor que 2023 no supone un avance.

    Respecto a la última pregunta sobre el menor máximo producto de vecinos posible… no se la respuesta, quizá sea complicado responder eso.

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  4. Creo que en general una configuración óptima sería:

    1 N 2 N-1 3 N-2 4 N-3 … (N/2+2) N/2 (N/2+1)

    (aunque en algunos casos puede haber otras equivalentes, con igual máximo, pero nunca menor máximo)

    Ej:
    N = 8

    1 8 2 7 3 6 4 5

    De forma que el mínimo máximo es (N/2+2) * N/2

    En el caso del problema, N=90
    significaría decir que el máximo de los productos es al menos 47 * 45 = 2115
    ¿por qué?
    Los mayores de 45 no pueden ser vecinos entre sí… de lo contrario habría una pareja al menos 46*47 o mayor, la cual es mayor que 45*47.
    Y de los menores o iguales de 45, tomo el mayor y busco qué vecinos puede tener, que deben ser ambos mayores de 45… así que los menores vecinos son 46 y 47. Así que como mínimo debe haber un producto que sea o bien 45 * 47 o superior a eso.

    En general, para todo N par se podrá dividir en 2 subconjuntos: los N/2 mayores y los N/2 menores. Los mayores no podrán estar unidos ya que en ese caso superarían (N/2+2) * N/2 y de los menores el mayor es N/2 cuyos menores vecinos son N/2 +1 y N/2 +2 (los dos números menores que se pueden tomar de los N/2 mayores).

    En este problema, si en lugar de ser N=90 hubiera sido N=88 (también par, pero menor) también se hubiese cumplido que al menos hay un par de vecinos con producto superior a 2014 ya que al menos hay un par con producto igual a 44 * (44+2) = 2024 o superior.

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  5. Si tenemos 2N vértices, el menor máximo producto de los vértices es N*(N+2).

    Tomemos los números de N+1 a 2N. Cualquier producto entre ellos es superior a
    N*(N+2), pues el más pequeño es (N+1)*(N+2). Por tanto deben ir en vértices alternos. Como el vértice N debe ir entre dos de los anteriores, tomaremos los dos menores para que su producto sea mínimo. Quedan (N+1)-(N)-(N+2) y el producto de los dos últimos es precisamente N*(N+2). Para impedir que otro producto sea mayor que este vamos tomando sucesivamente el mayor de los más pequeños sin usar y el menor del grupo de los más grandes. Quedan así:

    -(N+1)-(N)-(N+2)-(N-1)-(N+3)-(N-2)-(N+4)-…-(2N-2)-(3)-(2N-1)-(2)-(2N)-(1)-

    Ninguno de los productos supera a N*(N+2). Si pusiéramos N entre otros dos números del primer grupo, o si pusiéramos juntos dos números de ese grupo, el máximo sería mayor que N*(N+2).

    Por tanto el menor máximo para 2N=90 es 45*47=2115. Siempre se podrá encontrar un producto que sea mayor o igual que 2115 y por tanto también mayor que 2014.

    PD: Ácido, mientras lo escribía te me has adelantado.

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  6. Mmonchi,
    jejeje al menos he conseguido adelantarme una vez… normalmente te me adelantas tú u otro.

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  7. La buena noticia es que podemos dejar los numeros del 1 al 22 de lado y eliminar sus combinaciones con otros numeros.

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  8. Hice un calculito, y hay una probabilidad de 0.418726592 de que al elegir dos números consecutivos, al multiplicarlos sean mayor a 2014, es decir 1677 de 4005 combinaciones.

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  9. Disculpen, rectifico … 0.41897628 de probabilidad … 1678 de 4005 mayores o iguales a 2014

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  10. Pequeña ampliación:

    Consideramos un polígono regular de 90 vértices numerados al azar del 1 al 90. Calcular la probabilidad de que todos los productos de los vértices consecutivos sean menores que N, con N<2014

    Para el caso N=2014 ya sabemos que la probabilidad será 0.
    A por él.

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  11. Informático, si tu mismo admites que con N=2014 la probabilidad es 0, parece obvio que para N<02014 no puede ser mayor.
    Puesto que ya se ha visto que el mínimo valor máximo de los productos es 2115, podrías proponer el cálculo de la probabilidad de que, asignados los vértices al azar, ningún producto sobrepase dicho valor de 2115. Te aseguro que es pequeñísima.
    Solo la condición de que los 45 números mayores deban ocupar vértices de igual paridad ya tiene una probabilidad menor que 10^(-83), y todavía hay que imponer más restricciones.

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  12. JJGJJG, te has hecho un lío importante con la lógica inherente al enunciado del problema. Con razón dicen que sólo hay 10 tipos de personas que saben lógica a un nivel “nativo”: los informáticos y los !informáticos…

    Por cierto, ampliación de la ampliación:

    Consideramos un polígono regular de 2N vértices numerados al azar del 1 al 2N. Calcular la probabilidad de que todos los productos de los vértices consecutivos sean menores que N(N+2)-k con k>=1.
    Expresar esta probabilidad en función de N y de k.

    f(N,k)=?

    Para N=45 y k=101 tenemos el problema anterior.

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  13. Informático,
    me parece que quien se está haciendo un lío eres tú.

    f(N,k) = 0
    para todo k mayor o igual a 1

    para N=45 y k = 101 evidentemente también es cero, ya que se ha demostrado que es imposible que todos los productos sean menores que 2014.

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  14. Acido, tienes toda la razón.

    Quería decir N vertices y menor que 2014, no 90 vertices y menor que N…

    El problema quedaría así:

    Consideramos un polígono regular de N vértices numerados al azar del 1 al N. Calcular la probabilidad de que todos los productos de los vértices consecutivos sean menores que 2014.

    Para N=90 ya sabemos que la probabilidad es 0.

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  15. Ampliación de la ampliación corregida:

    Consideramos un polígono regular de N vértices numerados al azar del 1 al N. Calcular la probabilidad de que todos los productos de los vértices consecutivos sean menores que k.

    Para N=90 y k=2014 ya sabemos que es 0, como bien dicen acido y JJGJJG. Para N=10 y k=500 la probabilidad es 1.

    f(N,k)=?

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    • El enunciado me causó confusión, ya que no es claro que son los números que “enumeran” a los ángulos los que hay que multiplicar, ya que se puede pensar en el producto de la medida de cada, ángulo
      El planteamiento, y la solución sugerida, funciona para cualquier polígono convexo, no necesariamente debe ser regular

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  16. Informático, a las 00:37 planteaste un problema.

    A las 02:05, después de detectar mi incapacidad para entender la lógica inherente al mismo lo replanteaste con otra redacción.

    Por último, a las 02:33 nos aclaras, por fin, lo que realmente querías decir. Creo que a estas horas de la noche todos podemos estar un poco espesos, pero voy a intentar aclararlo un poco más.

    a) Para N comprendido entre 1 y 45 la probabilidad es 1 ya que 44 x 45 = 1980 < 2014.

    b) Para N comprendido entre 45 y 87 tu problema tendría sentido y daría probabilidades entre 0 y 1.

    c) A partir de N=88 la probabilidad sería 0 ya que el mínimo del producto máximo para N = 88 ya es 2024, mayor que 2014.

    Luego la probabilidad global de que, para cualquier N, los productos valgan menos que 2014 es bastante próxima a 0.

    Tu problema estaría "lógicamente" planteado para valores de N del intervalo b).

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  17. JJGJJG, ya he dicho que quien se ha expersado mal he sido yo.

    Lo que dices es correcto excepto cuando dices: “Tu problema estaría “lógicamente” planteado para valores de N del intervalo b)”

    Para otros valores de N está igualmente bien planteado.

    Simplemente ocurre que ya has solucionado una parte del problema, específicamente si se da que N>87 o N<45 en donde dices, acertadamente, que la probabilidad será 0 y 1, respectivamente.

    Ahora el siguiente paso que te falta es determinar qué ocurre si 45<=N<=87

    Suerte.

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  18. Hay que tener cuidado con una cosa: la demostración de Ácido solo sirve para los N pares, que es suficiente porque en el problema original N=90. Si se quieren analizar los N impares hay que tener en cuenta que con un número de vértices N=2K-1 el mínimo producto máximo es K(K+1). Es fácil demostrarlo de forma constructiva.

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  19. Esto no tiene nada que ver con el problema, pero lo he oido hace tiempo y lo planteo porque no conozco otro lugar donde hacerlo: demostrar que para cualquier figura geométrica (cóncava) existe al menos un par de puntos sobre su borde tales que determinan una recta que divide a la figura en otras dos de igual perímetro y área.

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  20. Leonardo, supongo que te quieres referir a una figura convexa, es decir, que cualquier segmento que une dos puntos de su perímetro está totalmente contenido en su interior.
    Elige cualquier punto del perímetro y llámalo A. Recorre, a partir de él, el perímetro hasta recorrer la mitad del mismo y llama B a ese nuevo punto.
    El segmento AB divide la figura en dos cuyas superficies S1 y S2 pueden ser iguales o distintas.
    En el primer caso ya tenemos la solución. En caso contrario desplaza los puntos A y B de forma continua manteniendo la condición de que dividan el perímetro en dos partes iguales. Cuando el punto A alcance la posición del primitivo B, la zona que empezó midiendo una superficie S1 ahora medirá S2 y viceversa. La que empezó siendo mayor ahora es la menor y viceversa. Como el proceso ha sido continuo en algún momento debe haber pasado por la situación de igualdad pedida.

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