Ahí va el problema de esta semana:
Hallar todos los números naturales
que cumplen la ecuación
.
Suerte a todos.
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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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Se que no es correcto usar ordenadores … pero me puede la curiosidad 🙂 y wolfram lo resuelve en segundos.
http://www40.wolframalpha.com/input/?i=4^x%2B1%3D5^y
Y tal como suponia, para este tipo de ecuaciones, se suelen tomar logaritmos neperianos en ambas expresiones
yln(5)=ln(4x+1) … lo dejo que yo ando oxidado 🙂
Tras operar un poco me sale que
y= ln(1 + 4^a)/ln5 según valga la «x» (que la he pasado a llamar «a»)
Análogamente para la «x» me sale:
x= ln(5^b – 1)/ln4
En el último caso se restringe el caso b=0, ya que el ln sólo está definido para valores estrictamente mayores que 0
Algún fallo o, seguramente, algo que falte en la deducción?
Y siento no escribir en LaTeX, aún no sé… Un saludo!
Yo a lo más que llego es que X ha de ser impar y que Y es menor o igual que X… y por supuesto el primer par que cumple la condición (1,1)
No se deshacer el ln(4^x+1) :,(
X no solo debe ser impar, sino que tiene que ser de la forma 10*n+5; las dos últimas cifras de la potencia de 4 deber ser 24, el primer número potencia de 4 que cumple esto es 4^5=1024 que no resuelve la ecuación. Tengo hambre, si nadie lo resuelve le echaré un vistazo más tarde con más tiempo.
A mi me sale que las únicas soluciones (x,n,y) de
son
y 
(3,3,2)…, quería decir.
Yo juraría que x=1 e y=1 es la única solución no imaginaria y positiva.
Bueno a ver si os parece bien esto, que soy un poco novatillo ^^. Está claro que si x o y son 1, entonces la una solución es que el otro número sea 1 (es decir la única pareja con unos en la solución es (1,1)), y que si x o y son 0 no hay solución. Nos fijamos en y. Tenemos que si queremos resolver para la ecuación, esto es lo mismo que decir que . Así pues esto es lo mismo que afirmar que (mod 5). Tenemos que , y con de manera que cerramos el ciclo. Por… Lee más »
¿Alguien conoce las soluciónes en el conjunto de numeros enteros a la ecuación (diofántica) x^n+y^n=z^n (x,y,z,n pertenecen a Z)?
Excelente, Adrià! Me ha parecido genial.
Mi argumento era más enrrollado y feo que el tuyo, aunque lo voy a resumir muy ligeramente. Había puesto la ecuación como
.
Considerando los elementos primos
y la factorización única en el anillo de enteros de Gauss ![\mathbb{Z}[i]=\{a+bi/\;a,b\in\mathbb{Z}\}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cmathbb%7BZ%7D%5Bi%5D%3D%5C%7Ba%2Bbi%2F%5C%3Ba%2Cb%5Cin%5Cmathbb%7BZ%7D%5C%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\mathbb{Z}[i]=\{a+bi/\;a,b\in\mathbb{Z}\}")
, había obtenido ocho posibilidades que o bien son irresolubles o bien se reducen a 
, 
. Restando: 
, que nos conduce a 
como única posibilidad. Y luego se deduce 
.
Fede, si tienes tiempo, ¿te importaría indicarnos tu desarrollo?
En
, si y es par, y=2s, entonces 
. Los dos factores de la derecha son potencias de 2 cuya diferencia es 2, y por tanto son 2 y 4. Entonces 
, con lo que n=3 y s=1, y=2 y x=3.
Si y es impar y=2s+1, entonces
. El segundo factor de la derecha es impar y una potencia de 2 y por tanto es 1. Entonces s=0, e y=1.
Por tanto en
, y=1 y x=1.
Sí señor, muy buena.
Javier Castañón, te suena el último teorema de Fermat?
M, ¿puedes desarrollar la demostración utilizando enteros gaussianos?
Es muy interesante tener la demostración desarrollada en enteros algebraicos, por variar un poco de los enteros ordinarios.
Fede, ¿por qué el segundo factor de la derecha es impar? (seguro que es una tontería pero estoy algo espeso…)
M, veo claro que
y 
son primos por ser irreducibles y ser ![\mathbb{Z}[i]](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cmathbb%7BZ%7D%5Bi%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\mathbb{Z}[i]")
un dominio de ideales principales, pero para seguir tu razonamiento entiendo que consideras los otros factores ¿primos también? y que por tanto deben ser iguales dos a dos por tener factorización única. No obstante no logro probar que 
sea primo.
Javier,
es suma de un número par de sumandos, todos con la misma paridad y por tanto es par. El ‘segundo factor de la derecha’ es la expresión anterior + 1, y por tanto es impar.
lo que yo decía que estoy espeso, hora del café. Gracias Fede
Bueno, vamos allá, aunque vergüenza me da ante las soluciones de fede y Adrià. Antes que nada comentar que este ejercicio se propuso a imitación de otra ecuación de aparentemente similar complicación: . ¿Alguien quiere probar (o refutar) que la única solución es ? Me parece que aquí la cosa se complica algo más. Para la ecuación del post, descomponía en factores (complejos): , considerando el anillo de enteros gaussianos. http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integer Este anillo es un dominio euclídeo con la norma y por tanto es un dominio de factorización única http://en.wikipedia.org/wiki/Unique_factorization_domain Además se conocen sus elementos inversibles , y sus elementos… Lee más »
Hola ! Ya veo que está resuelto perfectamente, me encantan las 3 soluciones dadas, aunque yo aún soy muy joven en esto !! Bueno, entonces vamos a considerar el caso anteriormente expuesto : Manipulemos sencillamente y ahora nos apoyamos en : Sean a y b enteros y primos entre sí , siendo b primo ; entonces : Sean , primos entre sí y con primo, por tanto es de la forma , lo que implica necesariamente que tal y como habíamos visto todos. Es sólo otro enfoque más del problema, muy curioso y efectivo, que evidentemente es inmediato para el… Lee más »
Vaya, me comí un párrafo, aunque se puede deducir del razonamiento…
debajo del pequeño teorema de Fermat, habria que añadir ( por puro formalismo ) que la ecuación,debido a la manipulación anteriormente hecha toma la forma
Por tanto, sólo basta identificar
y 
, por tanto 
es forzosamente igual a 
, 
.
Con
, se deduce que 
Voy a «»resolver»» este problema con tres palabras: Teorema de Mihăilescu (La conjetura de Catalan | Gaussianos, que casualmente está en Gaussianos), o si lo prefieren, en inglés: Mihăilescu’s Theorem (aquí lo podéis encontrar, http://mathworld.wolfram.com/CatalansConjecture.html.) Veamos por qué. Sabemos que una solución de la ecuación es el par (1,1). Podemos preguntarnos entonces… ¿existirán otras soluciones, con x e y mayores que 1? Y aquí es donde entra en acción la dupla Catalán-Mihăilescu. La Conjetura de Catalán (hecha por el matemático belga Eugène Charles Catalan en 1844) afirma (cito de Gaussianos): “La ecuación x^a-y^b=1, para x,y,a,b > 1, tiene como única… Lee más »
Bueno bueno, ese problemilla que has puesto es muy curioso, pero me parece más interesante la afirmación de Fermat de que sólo el 26 está «emparedado» entre un cubo, 27, y un cuadrado , 25.
Matemáticamente, aunque se vea a la legua, pero por puro formalismo , equivaldría a :
Sea
un entero, que verifica que 
y 
, entonces , FORZOSAMENTE, 
, 
y 
Además; restando la segunda ecuación a la 1º, llegamos a que
llegando así a la lógica conclusión de que el problema consiste en resolver la ecuación diofántica 
Por cierto, está ya demostrado.
Un saludo !!
La solución a la ecuación que menciona Wolf () la podéis encontrar aquí: http://www.eleves.ens.fr/home/baglio/maths/26number.pdf Con respecto al problema del post, hace poco me tope también con una ecuación diofántica exponencial. El problema era encontrar todas las soluciones a la ecuación . La solución que daban en la página (basada en aritmética modular o teoría de congruencias, como queráis) era la siguiente: «Sabemos que 5 ≡ 1 mód(4) por lo que 5^n ≡ 1^n mód(4). Entonces 5^n + 2 ≡ 1+2 mód(4). Por el otro lado, al ser 17 ≡ 1 mód(4) tenemos que 17^m ≡ 1^m mód(4). Y dado que… Lee más »
Muy buenas demostraciones, lo de los complejos se me escapa un poco, pero dadme tiempo y unos cuantos problemas mas…
Yo he llegado a la solucion de esta manera:
– Por contradicciones x e y han de ser impares
– Sustituyo el 1 por 5-4
– saco factor comun, factorizo y
– mas contradicciones: todo numero acabado en 24 (las potencias de 5 menos 1) debe ser multiplo de 4. Y ya
Alguien me puede decir como usar el Latex ese??
gracias
Solo se cumple para x=1 y y=1, el problema dice…naturales y no existe otro para que lo cumpla
La ecuación también se puede escribir como 5^y-4^x=1, entonces se nos dan 3 casos: x=y, y mayor a x, y menor a x Si y=x entonces la ecuación se puede escribir 5^y-4^y=1, es obvio que la función 5^y-4^y es creciente por lo que se demuestra que en este caso la ecuación no se cumple con valores mayores a 1. Luego si y mayor a x la función también es creciente por lo que la ecuación no se cumple. Finalmente si y menor x, entonces 5^y-4^ sera menor a 0. Entonces queda demostrado que la única solución con números naturales es… Lee más »
He estado leyendo los comentarios y creo que nadie ha dado esta solución en concreto:
y 
así que 
por tanto 
. Se ve que la igualdad se cumple si 
y esto solo ocurre cuando «y» es un número impar porque de lo contrario 
será igual a uno.
Es fácil ver que y debe ser impar porque en módulo 3
(GAUSSIANOS: Te he editado el comentario porque no aceptaba el comando
operatorname.)No entiendo por qué no me funciona bien el Látex, siento las molestias, voy a probar de nuevo a ver si funciona bien: Una vez que ya sabemos que «y» siempre debe ser impar podemos ver que es una solución (bastante trivial) de la ecuación ya que . Ahora supongamos que , en consecuencia así que podemos simplificar la expresión en el módulo 16 y nos queda . Necesitamos encontar potencias de 5 que sean congruentes a 1 en módulo 16. Probando un poco podemos ver que y así se repite infinitamente, se concluye que es cierto sí y solo… Lee más »