El problema de la semana también lo propone Domingo por mail. Está relacionado esta vez con sucesiones y es el siguiente:

Para cada natural n\geq 1 se considera el conjunto ordenado \mathfrak{F}_n que consiste en las fracciones irreducibles con denominador menor o igual que n ordenadas de menor a mayor:

\mathfrak{F}_1=\{\frac{0}{1},\frac{1}{1}\}
\mathfrak{F}_2=\{\frac{0}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{1}\}
\mathfrak{F}_3=\{\frac{0}{1},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{1}{1}\}
\mathfrak{F}_4=\{\frac{0}{1},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{1}{1}\}
\mathfrak{F}_5=\{\frac{0}{1},\frac{1}{5},\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{1}{2},\frac{3}{5},\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{4}{5},\frac{1}{1}\}

\vdots

Las cuestiones son las siguientes:

  1. Demostrar que si las fracciones \frac{a}{b} < \frac{a'}{b'} son elementos consecutivos de \mathfrak{F}_n entonces a'\cdot b-a\cdot b'=1.
  2. Demostrar que si dos fracciones propias \frac{a}{b},\frac{a^\prime}{b^\prime} verifican a^\prime \cdot b-a \cdot b^\prime=1, entonces son elementos consecutivos de \mathfrak{F}_n, siendo n=max\{b,b^\prime \}.
  3. Demostrar que si las fracciones \frac{a}{b} < \frac{a'}{b'} < \frac{a»}{b»} son elementos consecutivos de \mathfrak{F}_n, entonces \frac{a'}{b'}=\frac{a+a»}{b+b»}.
  4. Calcular el límite \displaystyle{\lim_{n\to \infty} \cfrac{|\mathfrak{F}_n|}{n^2}}, donde |\mathfrak{F}_n| representa el número de elementos de la secuencia.
  5. Para cada fracción irreducible propia \frac{a}{b}, se considera la circunferencia \mathcal{C}_{\frac{a}{b}} de centro el punto (\frac{a}{b},\frac{1}{2 b^2}) y diámetro \frac{1}{b^2}. Demostrar que \mathcal{C}_{\frac{a}{b}} y \mathcal{C}_{\frac{a^\prime}{b^\prime}} son tangentes si y sólo si las fracciones \frac{a}{b} y \frac{a^\prime}{b^\prime} son términos consecutivos de una secuencia \mathfrak{F}_n.

Imagen con circunferencias tangentes enviada también por Domingo:

Circunferencias tangentes

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