Aquí os dejo el enunciado del problema de esta semana:
Si
y
son enteros positivos, encuentra todas las soluciones de la siguiente ecuación:
Suerte.
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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX, te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.
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Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Aquí os dejo el enunciado del problema de esta semana: Si y son enteros positivos, encuentra todas las soluciones de la siguiente ecuación: Suerte….
Argh!
Para a<=b<=c<=20 sólo hay 3!3!=3!+3!+4!=36
No me sale…
Debe ser
por tanto
por tanto
es decir, la expresión de la izquierda ha de ser divisible por b+1, b+2, b+3, … hasta c.
Bueno, al menos, para todas las soluciones de la forma
c=b+1
sólo hay una solución (la 3,3,4) puesto que de
tenemos que
despejando a! queda
pero la solución sólo puede ser entera si se cumple que
que sólo es válido para b=3
Haciendo algo similar para c=b+2 resulta
luego no hay ninguna solución, puesto que tanto
como 
son pares y por tanto sumado 3 es impar lo cual no puede ser ningún factorial (que excepto el 1 son todos pares).
Para c=b+3 empieza a ser engorroso…
Ejem! perdón, ignorar la última burrada…
Bueno, la burrada se arregla sabiendo que las soluciones de la parábola son -1 y -3 por tanto no puede existir solución (debe ser positivo).
Vaya, para c=b+3 tenemos
cuyas soluciones son también negativas y por tanto no existe tampoco solución al problema para c=b+3.
¿Existirá algún n tal que c=b+n tenga solución positiva (y sea un factorial)?
Bueno, todas las ecuaciones de la forma
tienen pinta de no tener solución…
(cahis! se ha ido el símbolo producto, quería poner algo como
)
En fin, si no lo he hecho mal, numéricamente, para a,b,c <= 300 sólo hay la solución indicada.
Demostración de que en cualquier solución se cumple que a = b:
Por simplicidad consideramos que
(es evidente que a y b cumplen papeles simétricos, luego no se pierde generalidad. Además que sean mayores que 1 nos elimina casos triviales sin solución).
Un poco de notación extra:
Supongamos que
entonces tenemos que:
es decir:
de donde:
Es evidente que
debe ser entero, por tanto el lado derecho de la igualdad debe ser entero y así vemos que 
es entero y se confirma que:
En el siguiente comentario pongo el caso en que
Uy, con lo bien que iba… la he cagado en la conclusión.
No hagáis caso donde pone
. debería poner sólo 
.
Hola a todos. Allá voy con media solución (y, por cierto, aunque he comentado un par de veces en los problemas, nunca he dicho lo bueno que me parece este blog, así que queda dicho). En primer lugar, la ecuación se puede poner como . Voy a restringirme al caso fácil . Faltaría por probar (y esto es una conjetura) que no hay solución para . Si , entonces o bien . Ahora bien, si c es menor que a obviamente no hay solución, y si c=a implicaría que . Así que ha de ser c mayor que a. La… Lee más »
Pues entonces ya tenemos la única solución. En el comentario de más arriba queda probado (salvo que haya metido la pata, como de costumbre) que cuando . Para el caso en que tengo un proyecto de demostración que confirma que no existe ninguna solución. En los casos en que tendríamos (podemos seguir suponiendo que sin pérdida de generalidad): 1. cuando el resultado sería negativo y cuando aparece una división por cero. En los demás casos no hay solución entera ya que la función es siempre menor que 2, mayor que 1 y tiende a 1 a medida que crece (que… Lee más »
«mimetist», ¿qué propiedad adicional estás usando para concluir que 1/B es entero?, es decir, en general, Y/B+1/B puede ser entero aun siendo B e Y irracionales (e.g. Y=Pi, B=(Pi+1)/3).
josejuan, me imagino q lo dice pq Y/B es entero, ya que es lo mismo que c!/b!, y como ha supuesto que c>b, entonces es entero. Y si Y/B es entero y a!-1 es entero, pues entonces 1/B es entero, no?
Si te fijas,
y 
son números enteros, por lo tanto 
también es entero.
Como
también es entero, tenemos que 
es entero.
Está bien, ¿no?
Uuuu… pues tienes razón, me he colao…
no tiene porqué ser entero!!
Ais, para una vez que pensaba que había hecho una demostración bien en este blog !! xD
Buenos Días Voy a intentar aportar otro granito de arena a la demostración. Pretendo demostrar que no es posible que . Primero que nada hacer notar que la expresión es simétrica con respecto a y , por lo que se puede considerar sin perdida de generalidad que . La expresión la puedo manipular para convertirla en Caso 1 : Entonces, naturalmente sólo queda la posibilidad de que , y por tanto . En la expresión , en este caso, el miembro derecho es par y el izquierdo es impar, y no hay forma de que se cumpla la igualdad. Caso… Lee más »
Perdón, en la anterior exposición hice gala de que no sé cual es mi mano derecha y cual la izquierda, y confundí de lado los miembros. Si corregimos mi fallo disléxico la demostración queda mucho mejor.
Por otra parte, creo que es relativamente fácil comprobar que no puede ser que
ya que en ese caso se debe cumplir que 
, y podemos estudiar uno por uno los casos posibles.
Un Saludo
Estoy pensando en una forma de hacerlo fácil, por ahora se me ha ocurrido que a partir de 5 todos los factoriales acaban en 0, lo cual simplifica bastante la cosa, creo.
Ya que si a>=5, entonces a! acaba en 0, por lo que a!b! también acaba en 0, con lo cual; forzosamente, a!+b!+c! debe acabar en 0 por ser una igualdad.
Por ahí me sale un razonamiento por casos, un poco cutre, pero sencillo.
Ya digo, esto es pensando y sin plasmarlo en papel.
Bueno, pues yo digo que si a,b y c son mayores que 2, todos los miembros de la igualdad son pares. Si b es menor que a, y dividimos ambos lados de la igualdad por b!, se deduce que a!/b! y c!/b! no pueden ser ambos pares ni impares(pues a! lo es). También se deduce que c>=b, pues si no, un natural sería igual a un racional. La única forma de que no sean ambos pares o impares es que ac y que b=c-1 o b=a-1. Además, b+1 tiene que ser impar, y, por lo que dice Cristobal, presumiblemente acabar… Lee más »
La única forma de que no sean ambos pares o impares es que a sea distinto de c y que b=c-1 o b=a-1.
También creo que se puede demostrar que c>a, es decir, que a=b+1.
Si es así:
a!=a+1+(a+1+k)!/(a-1)!, con k>0
Alguien sabe de algún blog que sea igual de bueno como éste, en donde pongan problemas, noticias sobre Física Mecánica o de Magnetismo?
Por último
Multiplicando todo por (a-1)!
a!(a-1)!=(a+1)(a-1)!+(a+1+k)!
(a-1)!=(a+1)/a+(a+1+k)(a+k)…(a+1)
Que no puede ser
Para ver que si no hay solución: Sin perder generalidad, supongamos Tenemos que Pero en nuestra hipótesis, la primera fracción es un entero , por lo tanto la última también debe ser un entero. Entonces Vemos que la desigualdad no puede ser estricta, porque entonces y las dos fracciones serían múltiplos de , como también lo es el término de la izquierda – y el uno que suma da una contradicción. Pero tampoco puede darse la igualdad . Porque entonces tendríamos, reagrupando que (siendo la fracción un entero), y es fácil descartar las dos posibilidades ( 1 x 2, 2x… Lee más »
… tras lo cual hay que aplicar la (semi)demostración de castilla (12:57)
Muy buena, hernan. Un saludo.
c! = a!b! -a!-b! Como (a!-1)(b!-1)= a!b! -a!-b!+1 entonces c!+1= (a!-1)(b!-1) Todos los factoriales son pares, por tanto las posibles terminaciones de cualquier factorial son 0,2,4,6 u 8. El 8 no cuenta ya que no hay ningún factorial terminado en 8, y desde 5! (incluido) todos terminan en 0. 0!=1 1!=1 2!=2 3!=6 4!=24 5!=120 etc Como c! tiene que terminar en 0,2,4 ó 6, entonces c!+1 debe acabar en 1,3,5 ó 7. El producto de los dos factores (a!-1)(b!-1) tendrá que acabar en 1,3,5 ó 7. Estudiamos los casos. Terminación en 1. a!-1 y b!-1 terminan en 1, por… Lee más »
A Zenobia: plas, plas, plas, plas (no son bofetadas, son aplausos), que me deja pasmao.
Se me había pasado poner que todos los factoriales son pares a partir de 2!, y que ninguna combinación con 0! y 1! para a!,b! y c! da valores válidos para la resolución.
Hola Zenobia,
creo que se te han olvidado algunos casos, al menos los siguientes:
Terminación en 1. A partir de 5, todo factorial menos 1 acaba en 9, y el producto de dos de ellos acaba en 1.
Terminación en 5, todos los factoriales que acaban en 0, menos 1, multiplicados por factorial de 3, menos 1, terminan en cinco.
Terminación en 7: Para cinco o mayores, su factorial menos 1, multiplicado por (4!-1) acaba en 7.
Sean a, b y c mayores que 5. c!+1 acaba en 1, a!-1 acaba en 9 y b!-1 acaba en 9. Por tanto, (a!-1)(b!-1) acaba en 1, la demostración de Zenobia se desmorona y josejuan deja de aplaudir y sus plas, plas, plas resulta que sí que son bofetadas…
Nos gustaría informaros de la convocatoria del Certamen Internacional EducaRed, que pretende facilitar a la comunidad educativa nuevas herramientas, conocimientos y métodos de trabajo para asumir los cambios que las Tecnologías de la Información y la Comunicación (TIC) provocan en nuestra sociedad y en las nuevas generaciones de estudiantes, así como en los métodos de enseñanza y aprendizaje. Tenéis toda la información en nuestra web: http://www.educared.org/certameninternacional También os invitamos a ver el vídeo promocional de esta edición en: http://www.youtube.com/watch?v=GGikEyxxrHc Se puede participar en el Certamen creando blogs, webs y wikis. Además, los docentes pueden participar en solitario, con Experiencias Didácticas… Lee más »
Icosaedro y Osukaru, tenéis toda la razón, simplemente con el caso 9×9=81 la demostración no es válida, es lo que tiene hacer los cálculos deprisa. Qué lástima, con lo elegante que habría quedado si fuera cierto. De todos modos, que el fallo merezca bofetadas…, lo veo un pelín excesivo (je,je).
Ja, ja, … no pasa nada, a mí me sigue gustando el planteamiento. Suele ser el tipo de cosas que se hacen en teoría de números, módulos, … y cosas así. Lo que pasa es que yo soy especialmente torpe en esa rama (si es que en alguna no lo soy) y me encanta cuando alguien me pone delante de las narices resultados como ese.
¡Animo Zenobia!
Lo que estamos buscando es que la suma de tres factoriales dividida entre el producto de dos de ellos nos de la unidad, y teniendo en cuenta el comportamiento de los factoriales, esto se va a dar en contados casos, mi intuición es que la solución 3!,3! y 4! es única. Por ejemplo, suponiendo que dos de los números sean iguales (a!=b!), entonces tenemos 2a!+c!/a!a!=1. Si hacemos c!=(a+1)! entonces , ya que (a+1)!=(a+1)a! tenemos a!(a+3)/a!a!=1, de donde a+3/a!=1. Si se verifica que a!=a+3, entonces a!,a! y (a+1)! serán solución de la ecuación. Está claro que 3!=3+3, pero a partir de… Lee más »
Zenobia, si miras los comentarios previos de hernan verás que para
no puede haber solución, y si miras el mío (salvo que me haya equivocado), para $a=b$ la única solución posible es $\latex a=3,c=4$. En cualquier caso, tu primer intento me pareció muy bueno y muy elegante. Lástima que no funcione.
Hola Castilla. No había mirado los comentarios anteriores porque me apetecía abordar el problema sin ninguna indicación. De todos modos, la demostración de Hernán no me convence, porque ni a!/b! ni c!/b! tienen por qué ser enteros, aunque su suma más uno deba dar un entero. En cuanto a la tuya, no tengo tiempo para mirarla ahora detenidamente,tiene buena pintia, y si fuera correcta en efecto probaría que si a=b la solución única es 3,3,4.
Hola, Zenobia,
a!/b! es entero pues a>b (es lo que se ha supuesto)
y se deduce que c>=b, precisamente para que el cociente sea entero.
Un saludo.
Gracias Icosaedro, no me había fijado en la suposición a>b, por eso no me cuadraba. El resto de la demostración me parece absolutamente correcto.
[…] Ecuación con factoriales […]
Pues con un simple tanteo nos evitamos tantas notaciones 😀 (3; 3; 4) es la única solución, sólo prueben a*(b – 1) = b + c; (cada variable con su factorial) desde b = 1 hasta b = 3, desde b = 4 se ve que no hay más solución por el crecimiento más exponencial de la función factorial. Saludos!
me pueden ayudar con este problema?
((n-3)!+(n-9)!)/((n+4)!+(n-9)!)
Para n igual o menor que 8 no tiene valor real. Para n igual o mayor que 9 se parece mucho a n-3+1/(n-5)!