Polinomio combinatorio

Publicado por ^DiAmOnD^ | 13 marzo, 2012 | Juegos, Matemáticas | 8 |

Os dejo el enunciado del problema de esta semana:

Sea $p(x)$ un polinomio de grado $n$ tal que

$\displaystyle{p(i)= {n+1 \choose i}^{-1}}$

para $0\leq i\leq n$ . Hallar el valor de $p(n+1)$ .

Que se os dé bien.

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Sobre el Autor

^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook. También tengo un blog dedicado a las "escape rooms", por si te apetece pasarte: XRooMers.

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Tito Eliatron

13/03/2012 11:26

Conjetura: $p(n+1)=(-1)^{n+1}$

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Manzano

13/03/2012 11:50

No quiero desvelar cómo lo he hecho, pero yo diría que $p(n+1)=0$ si $n$ es impar y $p(n+1)=1$ si $n$ es par. Dicho de otra manera,

$p(n+1)=\frac{1+(-1)^n}{2}$

La conjetura de Tito Eliatron no es cierta para $n=1$ ya que en este caso el polinomio es $p(x)=1-\frac{x}{2}$ que cumple $p(2)=0$ .

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Tito Eliatron

13/03/2012 13:28

Tiene MANZANO toda la razón, me he hecho la picha un lío con la fórmula…

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Bitacoras.com

13/03/2012 13:29

Información Bitacoras.com…

Valora en Bitacoras.com: Os dejo el enunciado del problema de esta semana: Sea un polinomio de grado tal que para . Hallar el valor de . Que se os dé bien. Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre este artículo, consultar entrad……

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arniszt

14/03/2012 03:30

Definamos por $p_n(x)$ el correspondiente polinomio para cada entero positivo $n \geq 1$ .
Teniendo en cuenta la relación $\binom{m}{n} = \frac{m}{n} \binom{m-1}{n-1}$ se tendrá pues que los polinomios $q_n(x) = (n+1)p_n(x) - x p_{n-1}(x-1)$ , además de ser de grado a lo sumo $n$ se anulan en $1,\cdots,n$ y por lo tanto $q_n(x) = c_n(x-1)\cdots(x-n)$ para alguna constante real $c_n$ .
Ahora, como $q_n(0) =(n+1)p_n(0) = n+1$ , despejando se llega a que $c_n = \frac{(n+1)(-1)^n}{n!}$ , y de este modo evaluando de las dos formas posibles $q_n(n+1)$ se concluye que $(-1)^{n} = p_n(n+1)-p_{n-1}(n)$ , relación mediante la cual es immediato comprovar por inducción sobre $n$ que efectivamente $p_n(n+1) = \frac{1 + (-1)^n}{2}$ .

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Manzano

15/03/2012 10:39

Muy bonita y compacta tu demostración, arniszt. Yo lo había calculado directamente usando los polinomios de Lagrange, es decir, lo expreso como

$p(n+1)=\sum_{i=0}^n\frac{i!(n+1-i)!}{(n+1)!} p_i(n+1)$ ,

donde $p_i(k)$ es el único polinomio de grado $n$ que cumple que $p_i(k)=\delta_{ik}$ , donde $\delta_{ik}$ es la función delta de Kronecker, para $0\leq k\leq n$ . De hecho, se tiene que

$p_i(x)=\frac{x(x-1)\cdots(x-i+1)(x-i+1)\cdots(x-n)}{i(i-1)\cdots(i-i+1)(i-i+1)\cdots(i-n)}$ .

Al sustituir $x=n+1$ se simplifica mucho la expresión de $p(n+1)$ ya que se simplifican los factoriales y se obtiene el valor que dije antes y que arniszt ha corroborado.

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arniszt

15/03/2012 16:17

Genial Manzano, no me había dado cuenta de que aplicando Lagrange se simplificaban tanto las cosas y se llegaba tan rápido a la solución, así es mucho más fácil y rápido.
Sólo un pequeño detalle, ¿en la expresión de $p_i(x)$ no tendría que ir un $(x-i-1)$ después del $(x - i + 1)$ y lo mismo para el denominador?

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15/03/2012 16:26

Sí, arniszt. Los $p_i(x)$ que introduce Manzano son los polinomios fundamentales de Lagrange. Por cierto, también me ha gustado bastante tu demostración por lo «inesperada» de la misma. En este caso, la interpolación polinómica era lo esperable.

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