Os dejo el enunciado del problema de esta semana:
Sea
un polinomio de grado
tal que
para
. Hallar el valor de
.
Que se os dé bien.
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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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Conjetura:
No quiero desvelar cómo lo he hecho, pero yo diría que
si 
es impar y 
si 
es par. Dicho de otra manera,
La conjetura de Tito Eliatron no es cierta para
ya que en este caso el polinomio es 
que cumple 
.
Tiene MANZANO toda la razón, me he hecho la picha un lío con la fórmula…
Información Bitacoras.com…
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Definamos por
el correspondiente polinomio para cada entero positivo 
.
se tendrá pues que los polinomios 
, además de ser de grado a lo sumo 
se anulan en 
y por lo tanto 
para alguna constante real 
.
, despejando se llega a que 
, y de este modo evaluando de las dos formas posibles 
se concluye que 
, relación mediante la cual es immediato comprovar por inducción sobre 
que efectivamente 
.
Teniendo en cuenta la relación
Ahora, como
Muy bonita y compacta tu demostración, arniszt. Yo lo había calculado directamente usando los polinomios de Lagrange, es decir, lo expreso como
donde
es el único polinomio de grado 
que cumple que 
, donde 
es la función delta de Kronecker, para 
. De hecho, se tiene que
Al sustituir
se simplifica mucho la expresión de 
ya que se simplifican los factoriales y se obtiene el valor que dije antes y que arniszt ha corroborado.
Genial Manzano, no me había dado cuenta de que aplicando Lagrange se simplificaban tanto las cosas y se llegaba tan rápido a la solución, así es mucho más fácil y rápido.
no tendría que ir un 
después del 
y lo mismo para el denominador?
Sólo un pequeño detalle, ¿en la expresión de
Sí, arniszt. Los
que introduce Manzano son los polinomios fundamentales de Lagrange. Por cierto, también me ha gustado bastante tu demostración por lo «inesperada» de la misma. En este caso, la interpolación polinómica era lo esperable.
Es un ejercicio tonto de interpolación. Pueden utilizar la fórmula de Newton, por ejemplo: http://www.tonahtiu.com/notas/metodos/interpolacion_newton.htm