Este artículo es una colaboración de fede enviada por mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.


Aprovecho unas prácticas con GeoGebra para exponer la proposición 2 del libro VIII de la Colección Matemática de Pappus de Alejandría.

El matemático Michel Chasles formuló esa proposición de la siguiente forma (Aperçu historique, pag 44):

Si tres móviles situados en los vértices de un triángulo parten al mismo tiempo en el mismo sentido recorriendo los lados del triángulo con velocidades proporcionales a la longitud de esos lados, su centro de gravedad permanecerá inmóvil.

En la formulación de Pappus el enunciado quedaría así:

Si tenemos tres puntos A_1, B_1, C_1 en los lados de \triangle ABC, como en la figura, de forma que

\dfrac{A_1B}{A_1C} = \dfrac{B_1C}{B_1A} = \dfrac {C_1A}{C_1B}

entonces

  • El baricentro de \triangle A_1B_1C_1 es el mismo que el de \triangle ABC.
  • Los puntos medios de los lados de \triangle A_1B_1C_1, están siempre en los lados de \triangle A^\prime B^\prime C^\prime, cuyos vértices son los puntos medios de los lados de \triangle ABC.

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La proposición también se cumple en el caso de que los tres puntos A_1, B_1, C_1 estén en las prolongaciones de los lados de \triangle ABC.

Si está activado Java en vuestro navegador, en el applet de GeoGebra de la derecha podéis mover, arrastrando con el ratón, los vértices y los lados de \triangle ABC, además del botón del deslizador.

El interés histórico de la demostración de Pappus está en que es la única que tenemos de la antigüedad que utiliza el hoy conocido como teorema de Menelao para obtener un resultado de geometría plana (Menelao y Ptolomeo lo usan para demostrar una proposición de trigonometría esférica).

La idea de la demostración de Pappus es la siguiente:
Si B_1^\prime es el punto de intersección de C^\prime A^\prime y C_1A_1, aplicando el teorema de Menelao a \triangle C_1A_1B cortado por la transversal A^\prime B_1^\prime C^\prime, tenemos \dfrac {B_1^\prime C_1}{B_1^\prime A_1} = \dfrac {C^\prime C_1}{C^\prime B} \cdot \dfrac{A^\prime B}{A^\prime A_1}, y como \dfrac{A^\prime B}{A^\prime A_1} = \dfrac{C^\prime A}{C^\prime C_1} = \dfrac{C^\prime B}{C^\prime C_1}, resulta que \dfrac {B_1^\prime C_1}{B_1^\prime A_1} = 1 y, por tanto, B_1^\prime es el punto medio de A_1C_1.

Por otro lado aplicando el teorema de Menelao a \triangle C^\prime A^\prime B cortado por la transversal A_1B_1^\prime C_1, tenemos \dfrac {B_1^\prime C^\prime }{B_1^\prime A^\prime } = \dfrac {C_1C^\prime }{C_1B} \cdot \dfrac{A_1B}{A_1A^\prime } y, como \dfrac {C_1C^\prime }{C_1B} = \dfrac {A_1A^\prime }{A_1C}, resulta que \dfrac {B_1^\prime C^\prime }{B_1^\prime A^\prime } = \dfrac {A_1B}{A_1C} = \dfrac {B_1C}{B_1A}.

De donde obtenemos que si G es el punto de intersección de AA^\prime y CC^\prime, baricentro de \triangle ABC, como AC y A^\prime C^\prime son paralelas, B_1, G y B_1^\prime están alineados y como AG = 2\cdot GA^\prime, también B_1G = 2 \cdot GB_1^\prime.
Entonces G es también el baricentro de \triangle A_1B_1C_1.

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