Este artículo es una colaboración de fede enviada por mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
Aprovecho unas prácticas con GeoGebra para exponer la proposición 2 del libro VIII de la Colección Matemática de Pappus de Alejandría.
El matemático Michel Chasles formuló esa proposición de la siguiente forma (Aperçu historique, pag 44):
Si tres móviles situados en los vértices de un triángulo parten al mismo tiempo en el mismo sentido recorriendo los lados del triángulo con velocidades proporcionales a la longitud de esos lados, su centro de gravedad permanecerá inmóvil.
En la formulación de Pappus el enunciado quedaría así:
Si tenemos tres puntos
en los lados de
, como en la figura, de forma que
entonces
- El baricentro de
es el mismo que el de
- Los puntos medios de los lados de
, cuyos vértices son los puntos medios de los lados de
La proposición también se cumple en el caso de que los tres puntos
Si está activado Java en vuestro navegador, en el applet de GeoGebra de la derecha podéis mover, arrastrando con el ratón, los vértices y los lados de
El interés histórico de la demostración de Pappus está en que es la única que tenemos de la antigüedad que utiliza el hoy conocido como teorema de Menelao para obtener un resultado de geometría plana (Menelao y Ptolomeo lo usan para demostrar una proposición de trigonometría esférica).
La idea de la demostración de Pappus es la siguiente:
Si 
Por otro lado aplicando el teorema de Menelao a 
De donde obtenemos que si 
Entonces
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Diamond, parece que hay una dirección que no está correcta, te envié un mail.
La inmovilidad del centro de gravedad de los puntos se cumple también cuando se mueven en general n puntos sobre los lados de un polígono de n lados, plano o alabeado.
Hay una demostración fácil usando vectores. ¿Alguien se anima?
Siento el retraso. Creo que ya está arreglado. Si encontráis algún otro fallo dejadlo en un comentario y en cuanto pueda lo corrijo.
Excelente trabajo, fede. A lo rápido, para la cuestión que propones y con la pista que das, si
son los vértices del polígono, y 
los puntos interiores a cada lado elegidos de modo que
se tiene usando un origen de coordenadas
que
Sumando y agrupando (y simplificando
), llegamos a que
y dividiendo por
Exacto, M, esa era la idea 🙂 O también: Si en un sistema de n puntos de igual masa, n-1 puntos permanecen inmóviles y se mueve el otro punto, el centro de gravedad del sistema completo de los n puntos se desplaza paralelamente al punto que se mueve y una distancia igual a 1/n del desplazamiento del punto. Y los vectores que forman los lados del poligono (con el sentido que les dan los movimientos de los puntos) suman cero.
[…] 7 en El baricentro inmóvil de Pappus […]
¿Sabía que…
Existe una enciclopedia electrónica dedicada exclusivamente a los centros de triángulos?
Se trata de la ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS – ETC, del profesor Clark Kimberling.
http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
Cada entrada de la Enciclopedia contiene el código del centro, su nombre, sus coordenadas y sus relaciones con los demás centros.
Veamos algunos de ellos:
X(1) = INCENTER
X(2) = CENTROID
X(3) = CIRCUMCENTER
X(4) = ORTHOCENTER
…
X(3575) = EULER LINE INTERCEPT OF THE LINE X(64)X(66)
Es sorprendente, pues a la fecha ¡Contiene los datos de 3575 centros distintos!
Saludos.
Se podría mostrar una versión reducida del articulo sin el applet de java en la pagina principal? Sería mucho mas cómodo y seguro para la gente q visita el foro. Gracias!