La trisección del ángulo es uno de los problemas clásicos de la geometría griega (consistente en construir un ángulo que mida un tercio de la medida de otro ángulo dad) que no se puede realizar, en general, con regla y compás. Y digo «en general» porque la cuestión es que algunos ángulos sí son «trisecables» con regla y compás y otros no (depende de si el coseno de dicho ángulo es o no raíz de un polinomio de grado una potencia de 2).

El caso es que los ángulos que no cumplen la condición anterior no son «trisecables» con regla y compás, siempre que respetemos totalmente las normas de las construcciones de la antigua Grecia, pero sí lo son si suavizamos un poco nuestras exigencias. Vamos a ver cómo.

En lo que sigue vamos a ver un procedimiento para trisecar un ángulo cualquiera que sea menor de 90º. Como el de 90º sí es trisecable (y, por cierto, de manera muy sencilla como veremos más adelante), podremos así trisecar cualquier ángulo entre 0º y 360º.

Comenzamos con una semicircunferencia de centro O y radio R y un ángulo \alpha inscrito en ella que la corta en el punto A, como se puede ver en la siguiente imagen:

Ahora tomamos una regla y marcamos en ella dos puntos, B y C, que estén a distancia R:

Apoyamos la regla en A y colocamos el punto B en el eje X de forma que el punto C quede apoyado en la circunferencia, tal que así:

Uniendo ahora el punto C con el centro O (con un segmento que medirá R por ser el radio de la semicircunferencia), tenemos que el triángulo BCO (en verde) es isósceles, por lo que los ángulos CBO y COB son iguales (los llamamos \beta):

Vamos a denotar el resto de ángulos que nos interesan. El triángulo COA también es isósceles, por lo que los ángulos OAC y OCA, que llamaremos \gamma, son iguales. Llamando ahora \delta al ángulo COA y y \theta al BCO tenemos la situación siguiente:

De todo esto podemos sacar algunas relaciones evidentes entre los ángulos. Por ejemplo,

\alpha + \beta + \delta=180^\circ

También se tiene que \gamma + \theta = 180^\circ y que \theta + 2 \beta=180^\circ, de donde se deduce que \gamma=2 \beta. Por otra parte, también tenemos que \delta + 2 \gamma=180^\circ.

De las dos últimas igualdades podemos despejar \delta, quedando

\delta=180^\circ - 4 \beta

Sustituyendo ahora en la primera igualdad llegamos a

\alpha + \beta + 180^\circ - 4 \beta=180^\circ \Rightarrow \alpha=3 \beta

Es decir,

\beta=\cfrac{\alpha}{3}

Vamos, que a partir de un ángulo \alpha hemos construido otro, \beta, que es un tercio del primero:

Trasladando ahora ese ángulo dos veces sobre \alpha ya hemos trisecado dicho ángulo.

Trisección de un ángulo de 90º

Al principio de esta entrada comentamos que trisecar un ángulo de 90º era muy sencillo. Vamos a ver cómo hacerlo:

  • Dado el ángulo de 90º BAC, dibujamos la circunferencias de centro A y radio AB, de centro B y radio AB y de centro C y radio AC. La primera y la segunda se cortan en el primer cuadrante en el punto G y la primera y la tercera en el punto D.
  • Dibujamos ahora las rectas que pasan por A y D y por A y G. Dichas rectas dividen el ángulo inicial en tres ángulos de 30º.

En esta imagen podéis ver cómo quedaría la cosa:


Por cierto, ¿sabéis qué norma hemos incumplido en la trisección de un ángulo menor de 90º que hemos descrito? Muy sencillo: según las normas de la geometría clásica, en este tipo de construcciones no se le pueden hacer marcas a una regla. Por tanto me da que no podremos realizar esta construcción en Ancient Greek Geometry, la interesante aplicación de la que os hablé hace un par de días.


Fuentes y más información:

  • Vitaminas matemáticas, de Claudi Alsina.
  • Ideas fugaces, teoremas eternos, de Joaquín Navarro.
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