Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Sea un punto P, que llamaremos centro de proyección, en la superficie de una esfera y sea un plano, que llamaremos plano de proyección, paralelo al plano tangente a la esfera en P.

La proyección estereográfica hace corresponder a cada punto \alpha de la esfera, distinto de P, el punto A que es intersección de la recta P\alpha con el plano.

Recíprocamente a cada punto A del plano le corresponde el único punto \alpha, distinto de P, que es la intersección de la esfera con la recta PA.

La proyección estereográfica es usada en el «Planisferio» de Ptolomeo para proyectar en el plano la esfera celeste, y en ella está basado el astrolabio.

La proyección estereográfica tiene las siguientes propiedades:

  • Las circunferencias sobre la superficie de la esfera que pasan por el centro de la proyección se proyectan sobre rectas en el plano de proyección y viceversa.

  • Las circunferencias sobre la superficie de la esfera que no pasan por el centro de la proyección se proyectan sobre circunferencias en el plano de proyección y viceversa.

  • Es conforme, lo que quiere decir que si dos curvas sobre la superficie de la esfera se cortan en un determinado ángulo, sus proyecciones se cortan en el mismo ángulo.

El funcionamiento del astrolabio se basa en la segunda propiedad, que era seguramente conocida por Apolonio, aunque la demostración más antigua que se conserva está en el tratado Sobre el Astrolabio de Al-Farghani (Alfraganus), hacia el 856 d.C.

La tercera propiedad no era aparentemente conocida en la antigüedad, y la primera demostración publicada (en 1696) se debe a Halley.

A continuación demostramos esas propiedades.


Secciones circulares del cono oblicuo

Un cono oblicuo es la figura generada por las rectas trazadas desde un punto (vértice del cono) a una circunferencia (base del cono), donde el vértice no está en el plano de la circunferencia ni en la perpendicular a ese plano por el centro de la circunferencia.

Llamamos triángulo axial del cono oblicuo a la intersección del cono con el plano perpendicular a la base que pasa por el centro de la base y el vértice del cono (es decir, es la intersección del cono con el plano de simetría de la figura).

Triángulo axialLa proposición 5 del libro I de las Cónicas de Apolonio de Perga dice:

Si un cono oblicuo es cortado por un plano perpendicular al triángulo axial \triangle ABC, cortando en éste del lado del vértice A un triángulo \triangle AGF semejante al tríángulo axial, pero dispuesto de forma contraria, la sección GHF que ese plano corta en el cono es un círculo.

Por dispuesto de forma contraria debemos entender que, en la figura, \angle ABC = \angle AGF y \angle ACB = \angle AFG. Hoy diríamos que el plano corta en el triángulo axial una recta FG antiparalela al diámetro BC de la base.

Sea H un punto cualquiera de la sección GHF. El plano paralelo a la base que pasa por H corta al triángulo axial en un segmento DE y al cono en un círculo DHE, por la proposición I.4 de las Cónicas.

Si K es la intersección de DE, FG, entonces HK es perpendicular al triángulo axial, y como DHE es un círculo de diámetro DE, por Euclides II.14 tenemos HK^2 = DK \cdot KE.

Como \angle AED = \angle AFG,   \triangle GEK es semejante a \triangle DFK, y DK \cdot KE = FK \cdot KG.

Pero entonces HK^2 = FK \cdot KG y por Euclides II.14, H está en una circunferencia de diámetro FG.

Por tanto la sección GHF es un círculo, como queríamos demostrar.

En la proposición I.9, Apolonio demuestra que las únicas secciones del cono oblicuo que producen círculos son las descritas en las proposiciones I.4 (las parelelas a la base) y I.5 (las antiparalelas).


La proyección de una circunferencia

 
Supongamos que, en una proyección estereográfica, el plano de proyección es tangente a la esfera en el punto T opuesto al centro A de la proyección.

Una circunferencia GF en la esfera que no pase por A forma con el centro de la proyección un cono oblicuo, cuya base es la circunferencia GF y cuyo vértice es A.

El plano del triángulo axial de ese cono corta a la esfera en un círculo máximo AGT, a la circunferencia GF en G y F, y a la proyección de esa circunferencia en B y C.

Como C está en el plano tangente a la esfera en T, \angle ATC es recto, y como AT es un diámetro de la circunferencia AGT, \angle AGT es recto.

Entonces \triangle ACT es semejante a \triangle ATG y \angle ACT = \angle ATG.

Pero \angle ATG = \angle AFG, porque los dos subtienden el mismo arco en la circunferencia AGT, y por tanto \angle ACT = \angle AFG y los segmentos FG y BC son antiparalelos respecto a AB,AC.

Entonces, por la proposición I.5 de las Cónicas, la circunferencia FG en la esfera se proyecta en una circunferencia BC en el plano de proyección.

Usando este resultado no es difícil demostrar el recíproco, es decir, que a una circunferencia en el plano le corresponde en la proyección estereográfica una circunferencia en la esfera.

Por otro lado, las circunferencias sobre la superficie de la esfera que pasan por A se proyectan sobre rectas en el plano de proyección, que son la intersección de ese plano con los planos en que están esas circunferencias. Y a cada recta en el plano de proyección le corresponde la circunferencia en la esfera que es el resultado de cortar la esfera con el plano que contiene al punto A y a la recta.


La proyección estereográfica conserva los ángulos

 
Sea A el centro de proyección, E un punto en la esfera y m,n dos tangentes a la esfera en E.

El plano Am, que contiene al punto A y a la recta m, corta en la esfera una circunferencia que pasa por E y por A.

La tangente a esa circunferencia en E es la recta m, pues toca a la circunferencia y está en el mismo plano, y, por lo mismo la tangente m^{\prime\prime} a esa circunferencia en A es la intersección del plano Am con el plano tangente a la esfera en A.

La proyección desde A de la recta m es la intersección m^{\prime} del plano Am y del plano de proyección, y será paralela a m^{\prime\prime}, porque el plano de proyección es paralelo al plano tangente a la esfera en A.

De la misma forma el plano An corta una circunferencia en la esfera, una tangente n^{\prime\prime} a esa circunferencia en el plano tangente en A, y una recta n^{\prime} en el plano de proyección.

El ángulo que forman m,n en E es el mismo que el que forman las tangentes m^{\prime\prime} y n^{\prime\prime} en A, pues esas rectas son tangentes a las circunferencias en los puntos A,E de intersección de las circunferencias y el ángulo de intersección es el mismo en los dos puntos.

Y como m^{\prime\prime}, n^{\prime\prime} son paralelas a m^{\prime},n^{\prime} el ángulo entre m^{\prime} y n^{\prime} en la proyección P de E es el mismo que el ángulo en E entre m y n.

Si m es tangente en E a una una curva sobre la esfera, m^{\prime} es tangente en P a la proyección de esa curva porque el plano Am es tangente a la curva sobre la esfera en el punto E.

Por tanto en la proyección estereográfica se conservan los ángulos.

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