Vamos a realizar un experimento:

Dibujemos un triángulo y numeremos sus vértices con los números 1, 2 y 3. Ahora subdividamos este triángulo en triángulos más pequeños. Con esto nos habrán aparecido nuevos vértices de triángulos que también vamos a numerar. Los vértices que hayan aparecido entre el vértice 1 y el 2 del grande los numeraremos con unos o doses a nuestro gusto, los que hayan aparecido entre el 2 y el 3 los numeraremos con doses o treses a nuestra elección, y lo mismo con el otro lado. Los vértices de los triángulos que hayan quedado dentro del grande los numeraremos como queramos, es decir, les asignaremos 1, 2 ó 3 según nos apetezca.

¿Todo hecho?. Bien. Pues yo os aseguro que al menos uno de los triángulos pequeños que han aparecido al subdividir cumple que sus vértices están numerados igual que el grande, es decir, uno de sus vértices tiene un 1, otro un 2 y el otro un 3 (de hecho parece ser que el número de triángulos pequeños que tienen esa numeración es siempre impar).

Aquí os dejo un ejemplo:

La razón por la que esto ocurre está en el lema de Sperner1, resultado equivalente al famosísimo teorema del punto fijo de Brouwer.

(Fuente: Math Fun Facts)

1: Emanuel Sperner fue un matemático alemán nacido en 1905 y fallecido en 1980. Sus aportaciones principales a las matemáticas fueron el teorema de Sperner y el lema de Sperner.

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