Un ángulo se llama construible si puede construirse con regla y compás siguiendo las normas clásicas, y se llama trisecable si puede dividirse en tres partes iguales siguiendo esas mismas normas. ¿Podremos encontrar algún ángulos trisecable pero no construible?

Un momento, un momento. ¿La trisección del ángulo no era una construcción imposible con regla y compás? Al menos eso es lo que se decía en este post, ¿no? Bueno, no exactamente. Es una construcción imposible en general, es decir, no se puede trisecar un ángulo cualquiera, hay ángulos que son trisecables y ángulos que no.

Lo que suena raro es que un ángulo sea trisecable pero no sea construible. ¿Cómo lo voy a poder trisecar si no lo puedo construir? Bueno, sí lo podemos construir, saltándonos las reglas de las construcciones con regla y compás. Pero de todas formas sigue sonando extraño que «algo que no puede construirse» con regla y compás «sí pueda trisecarse» con regla y compás, ¿verdad? Vamos a ver un ejemplo.

En este artículo dimos una construcción aproximada del heptágono regular, polígono regular de siete lados que no es construible con regla y compás (ya que 7 no es un primo de Fermat):

Si lo fuera, entonces el ángulo

\cfrac{2 \pi}{7}

sería construible con regla y compás, pero no lo es. Partamos pues de este ángulo. Si 2 \pi /7 fuera construible, entonces también lo sería el ángulo 4 \pi / 7 (la suma de ángulos construibles es construible). Y como el ángulo \pi es construible (cuidado, el ángulo, no el número \pi), entonces también lo sería la resta de ellos, esto es:

\pi-\cfrac{4 \pi}{7}=\cfrac{3 \pi}{7}

Por tanto, el ángulo 3 \pi /7 no es construible con regla y compás.

Ahora, si nos dieran este ángulo construido con otras técnicas que no sigan las normas clásicas, podríamos construir a partir de él el ángulo 4 \pi / 7. Restando estos dos obtendríamos el ángulo \pi / 7, que es precisamente un tercio del ángulo inicial. Vamos, que aunque el ángulo 3 \pi / 7 no sea construible podemos trisecarlo si nos lo dan inicialmente. Hecho cuanto menos curioso, ¿verdad?

¿Qué ocurre con las otras opciones? ¿Hay ángulos de pertenezcan a todas ellas? Veamos:

  • Hay ángulos construibles y trisecables, como \pi / 2.
  • Hay ángulos construibles pero no trisecables, como \pi / 3.
  • Sobre si hay ángulos que no sean ni construibles ni trisecables, en el enlace que aparece al final del artículo comentan que parece que \pi / 21 no cumple ninguna de esas dos propiedades. Vale la pena que le echéis un vistazo a la demostración de este hecho y que la comentemos por aquí. Y también al comentario contrario a la misma que aparece también en ese enlace.

Y para terminar una pregunta: ¿conocéis más ángulos con las características de este 3 \pi / 7 (trisecable pero no construible)?


Fuente:


Print Friendly, PDF & Email