Como en algunos comentarios en ciertos artículos (por ejemplo, en algunos de números irracionales cebra) vi que no estaba demasiado claro qué era un número normal voy a intentar explicarlo en esta entrada.

Un número normal es un número real cuyos dígitos, en cualquier base, siguen una distribución uniforme, esto es, todos los dígitos son igualmente probables, todas las parejas de dígitos son igualmente probables, todas las ternas son igualmente probables…Cuando queremos referirnos a una base concreta b diremos que el número es cuestión es normal en base b. El concepto de número normal fue introducido por Émile Borel en 1909.

A la vista de esta definición podemos sacar varias cosas:

1.- En un número normal podemos encontrar todos los patrones posibles entre números; por ejemplo, si nos ceñimos a base 10, un número normal en base 10 contendrá en algún lugar de su expansión decimal a cualquier número natural que podamos pensar.
2.- Todo número normal debe ser necesariamente irracional, ya que si un número es racional tendrá un período y eso impide que haya equiprobabilidad.
3.- No todo número irracional es normal, ya que hay números irracionales en los cuales no aparece cualquier patrón de número naturales. Por ejemplo, la constante de Liouville

\displaystyle{\sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000 \ldots}

es un número irracional pero, evidentemente, no presenta todos los patrones posibles.

Después de la definición y de las observaciones iniciales viene la pregunta: ¿existen números normales? Y en ese caso, ¿cuántos hay? Vamos con las respuestas:

Sí, existen números normales. De hecho, casi todos los números reales son normales. El casi todos significa que el conjunto de los números reales no normales tiene medida de Lebesgue cero. Este resultado también fue demostrado por Borel, aunque su demostración es no constructiva. Fue Waclaw Sierpinski quien dio el primer ejemplo de número normal (no he podido encontrar de qué número se trata; si alguien lo sabe que lo comente). Por tanto hay muchísimos números normales. Sería lógico pensar entonces que es sencillo encontrarlos…nada más lejos de la realidad. Se conocen algunos, de otros se conjetura que lo son, hay más conjeturas sobre ellos, pero ni mucho menos es sencillo comprobar que un número irracional es o no es normal.

Vamos con un par de números de los que se conoce su normalidad:

1.- El número de Champernowne: 0,1234567891011121314151617181920212223 \ldots

Este número se obtiene concatenando todos los números naturales. Se sabe que es normal en base 10, pero no se sabe si lo es o no en otras bases.

2.- La constante de Copeland-Ërdos: 0,23571113171923 \ldots

Este número se obtiene concatenando todos los números primos en base 10. En 1945 Copeland y Ërdos demostraron que este número es normal en todas las bases.

3.- La constante de Chaitin \Omega: que es la probabilidad de que un programa elegido al azar detenga correctamente a una maquina de Turing determinada.

Podemos definirlo también de la siguiente forma:

Sea P el conjunto de todos los programas que se detienen y sea |p| el tamaño en bits de un programa p. Entonces:

\displaystyle{\Omega = \sum_{p \in P} 2^{-|p|}}

No podemos determinar todos sus dígitos ya que es un número no computable. Pero sabemos que los primeros dígitos de su expresión en base 10 son:

\Omega=0,0078749969978123844 \ldots

Uno de los temas más interesante sobre los números normales es si ciertas constantes famosas como \pi,e,\sqrt{2} ó ln(2) son números normales. Aunque se cree firmemente que lo son todavía no se ha podido demostrar ni refutar este hecho.

También existe, como en todos estos temas, una conjetura que de ser cierta sería un resultado ciertamente fuerte. EN este caso es la siguiente:

Todo número irracional algebraico es normal.

No se ha podido encontrar ningún contraejemplo de esta sentencia, pero tampoco se conoce ningún número irracional algebraico que sea normal. Si esta conjetura fuera cierta tendríamos de añadido que \sqrt{2} es normal, al ser un número irracional algebraico.

Y para terminar os dejo un resultado sobre números normales relacionado con el análisis matemático:

Un número x es normal en base b si y sólo si

\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{2 \pi i m b^k x}=0}, \forall m\in\mathbb{Z}, m\geq1

Fuentes:

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