Vamos con el problema semanal:
Dado el siguiente número real:
demostrar que:
A \cdot \sqrt{2009} < 1[/latex]
.
Repito, demostrar. Por favor, si puede ser me gustaría que no hubiera comentarios con el resultado simplemente, calculado con un programa. Suerte.
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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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Usando que para cualquier número natural
se cumple que
,
tenemos que
de donde se deduce la desigualdad que buscábamos.
Ais… casi llego xD
Bueno, pues pongo otra idea que requiere cálculos, pero no muchos.
El mayor término de A es
, además sabemos que A tiene 1004 términos, por lo tanto:
Si multiplicamos por
y elevamos al cuadrado, tenemos que:
tomando logaritmos en la parte derecha:
De donde deducimos que:
lo que sólo es posible si:
🙂
P.d.: Por fin consigo escribir en
!!!
Por inducción:
Sea
. Por demostrar que 
.
Primero, el caso
. En este caso 
y 
Como hipótesis de inducción, supongamos que la propiedad es cierta para cierto
y probamos que es cierta para 
Por hipótesis de inducción
Esto último es menor que uno para todo
y demostrarlo es sencillo.
Con la propiedad demostrada para todo
, se escoge $n = 1003$ y se obtiene el resultado pedido. 🙂
que buena manzano! sencilla y elegante y en apenas una linea 🙂
«He hecho esta carta más larga de lo usual porque no tengo tiempo para hacer una más corta.»
Pascal
mimetist, hay un error en tu prueba. En el siguiente comentario la desigualdad no es correcta (de hecho esa cantidad es positiva).
«tomando logaritmos en la parte derecha:
Me da que has usado la propiedad a demostrar en la propia demostración.
[…] 14/07/2009 de javcasta Producto pequeño | Gaussianos. […]
Mentalmente (sin calculadora, computadora, ni nada parecido) me da casi 7/9. Pista: Liberen a Wallis!!
Muy buena, JuanPablo. Con la aproximación de pi por 22/7 obtenemos que el producto pedido se aproxima a
.
Ahí va la mía:
Es evidente que:
De 1) y 2) se deduce que:
Casi me ha costado más escribir la demostración en Latex que pensarla.
Saludos
Yo lo hice igualito que Toro Sentado
Alguno puede explicar el modo de resolver este problema? ME lo he mirado bastantes veces y no logro entender ningún razonamiento del post.
gracias