El matrimonio matemáticas-papiroflexia es un tema que ha sido poco tratado por estos lares (que yo recuerde, hemos hablado de cómo construir el poliedro de Császár y poco más). De todos los temas que no se han tratado por aquí, éste es uno que se presta mucho a la buena divulgación de las matemáticas, y además sirve para ver aplicaciones de esta ciencia en lugares en los que podría pensarse que no tienen cabida.
Pues ha llegado el día de meternos un poco más en el mundo de las matemáticas y la papiroflexia. Y lo vamos a hacer de la mano de José Ángel Iranzo y el método de Fujimoto.
Hace unos meses, dando una vuelta por internet me encontré alguna noticia que relacionaba origami y matemáticas. Viendo, como decía antes, que en el blog no había prácticamente nada sobre esto, me decidí a buscar a algún especialista que nos contara algo interesante, y me encontré con José Ángel, que se presenta él mismo con este breve párrafo:
Mi nombre es José Ángel Iranzo y actualmente soy profesor de matemáticas en el grado de Ingeniería de Organización Industrial impartido en el Centro Universitario de la Defensa de Zaragoza. Me licencié en Matemáticas por la Universidad de Zaragoza en 2010 y en 2015 defendí mi tesis doctoral, vinculada a la rama de Investigación Operativa. Desde muy joven me gusta plegar, hacer todo tipo de figuras de papel y, también, conocer los detalles matemáticos que esconden esos pliegues.
En este artículo, José Ángel nos va a hablar sobre las matemáticas del método de Fujimoto, un interesante método que puede utilizarse para dividir un papel en partes iguales. Desde aquí quiero agradecerle su predisposición para colaborar y que lo haya hecho con un artículo tan interesante.
El método de Fujimoto, o cómo dividir un papel en partes iguales
Existe una relación muy extensa y muy estrecha entre matemáticas y papiroflexia que se demuestra en multitud de teoremas, técnicas de diseño, tipos de pliegue, etc. Una de las situaciones más habituales en las que un plegador tiene que recurrir a las matemáticas aparece cuando se le pide, en los primeros pasos para doblar una figura, que divida el papel en partes iguales. Dividir un papel por la mitad o en cuatro partes iguales es sencillo, pero dividirlo en tres o en cinco partes iguales no es para nada evidente. La precisión es fundamental en papiroflexia y, por tanto, el ojo de buen cubero no es una opción. Sin embargo, también debemos ser conscientes de que en la práctica la perfección no va a ser posible: el error humano, la precisión asociada a ciertos pliegues o el grosor del papel son factores que hacen que siempre exista cierto error.
Hay métodos matemáticamente exactos que permiten dividir un papel en cualquier número de partes iguales. Sin embargo, en este artículo hablaremos de uno aproximado: el método de Fujimoto. Se trata de un método cuyos pliegues son sencillos, fáciles de realizar con precisión y cuyo error de aproximación puede ser tan pequeño como uno quiera. Además, desde el punto de vista matemático, es interesante ya que no sólo sirve para dividir el papel en partes iguales, como veremos más adelante.
Un caso particular: dividir el papel en 5 partes iguales
Supongamos que queremos dividir en cinco partes iguales el lado de un cuadrado de longitud 1. En primer lugar, hacemos una marca aproximada (
De esta forma, el error inicial se habrá dividido entre 16. Si repetimos de nuevo el proceso tomando ahora
- La marca inicial está en el punto
, donde
es el error cometido inicialmente.
- La segunda marca está en
(punto medio de
).
- La tercera marca está en
(punto medio de
- La cuarta marca está en
(punto medio de
y
- La quinta marca está en
(punto medio de
Análogamente, con cuatro pliegues más podemos calcular 
El caso general: dividir el papel en n partes iguales
El método de Fujimoto puede adaptarse para dividir el papel en cualquier número de partes iguales, pero ¿cómo sabemos qué secuencia de plegado debemos seguir? La respuesta es tan simple como representar en binario el inverso de dicho número y leer los decimales de derecha a izquierda:
Veamos por qué funciona. Como hemos visto en el ejemplo anterior, inicialmente comenzamos con un número cualquiera 
Después, dependiendo de la secuencia, se realizan pliegues desde la izquierda o desde la derecha hasta la última marca que tengamos hecha sobre el papel. En ambos casos estamos calculando un punto medio: o bien entre el
Observemos qué ocurre al aplicar estas funciones al punto
Por tanto, si a
Cuantos más decimales utilicemos para aproximar el número deseado, mayor será la precisión en la aproximación.
De este modo, el método Fujimoto no sólo sirve para dividir el lado de un papel en partes iguales, sino que si conocemos la representación binaria de un número entre
Esta entrada participa en la Edición 11.2 del Carnaval de Matemáticas, que organiza El mundo de Rafalillo.
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Hola, en el último ejemplo que a puesto para la secuencia
, ¿no sería 
?. Primero hallas el punto medio entre 
y 
, esto es, 
, después se repite lo mismo para el punto anterior, lo que daría el punto 
. Ahora, se halla el punto medio entre el último punto hallado y 
, dando lugar al punto 
y, por último, aplicando otra vez obtenemos el punto 
. (Si no estoy equivocado claro). Gracias por todo éste contenido maravilloso, cada post se supera al anterior.
Tienes toda la razón. En realidad, en ese último ejemplo donde pone ‘secuencia 0011’ pretendí haber escrito ‘secuencia 1100’, para así volver al ejemplo del caso particular (la secuencia para calcular 1/5). Gracias por avisar.