El matrimonio matemáticas-papiroflexia es un tema que ha sido poco tratado por estos lares (que yo recuerde, hemos hablado de cómo construir el poliedro de Császár y poco más). De todos los temas que no se han tratado por aquí, éste es uno que se presta mucho a la buena divulgación de las matemáticas, y además sirve para ver aplicaciones de esta ciencia en lugares en los que podría pensarse que no tienen cabida.

Pues ha llegado el día de meternos un poco más en el mundo de las matemáticas y la papiroflexia. Y lo vamos a hacer de la mano de José Ángel Iranzo y el método de Fujimoto.

Hace unos meses, dando una vuelta por internet me encontré alguna noticia que relacionaba origami y matemáticas. Viendo, como decía antes, que en el blog no había prácticamente nada sobre esto, me decidí a buscar a algún especialista que nos contara algo interesante, y me encontré con José Ángel, que se presenta él mismo con este breve párrafo:

Mi nombre es José Ángel Iranzo y actualmente soy profesor de matemáticas en el grado de Ingeniería de Organización Industrial impartido en el Centro Universitario de la Defensa de Zaragoza. Me licencié en Matemáticas por la Universidad de Zaragoza en 2010 y en 2015 defendí mi tesis doctoral, vinculada a la rama de Investigación Operativa. Desde muy joven me gusta plegar, hacer todo tipo de figuras de papel y, también, conocer los detalles matemáticos que esconden esos pliegues.

En este artículo, José Ángel nos va a hablar sobre las matemáticas del método de Fujimoto, un interesante método que puede utilizarse para dividir un papel en partes iguales. Desde aquí quiero agradecerle su predisposición para colaborar y que lo haya hecho con un artículo tan interesante.

El método de Fujimoto, o cómo dividir un papel en partes iguales

Existe una relación muy extensa y muy estrecha entre matemáticas y papiroflexia que se demuestra en multitud de teoremas, técnicas de diseño, tipos de pliegue, etc. Una de las situaciones más habituales en las que un plegador tiene que recurrir a las matemáticas aparece cuando se le pide, en los primeros pasos para doblar una figura, que divida el papel en partes iguales. Dividir un papel por la mitad o en cuatro partes iguales es sencillo, pero dividirlo en tres o en cinco partes iguales no es para nada evidente. La precisión es fundamental en papiroflexia y, por tanto, el ojo de buen cubero no es una opción. Sin embargo, también debemos ser conscientes de que en la práctica la perfección no va a ser posible: el error humano, la precisión asociada a ciertos pliegues o el grosor del papel son factores que hacen que siempre exista cierto error.

Hay métodos matemáticamente exactos que permiten dividir un papel en cualquier número de partes iguales. Sin embargo, en este artículo hablaremos de uno aproximado: el método de Fujimoto. Se trata de un método cuyos pliegues son sencillos, fáciles de realizar con precisión y cuyo error de aproximación puede ser tan pequeño como uno quiera. Además, desde el punto de vista matemático, es interesante ya que no sólo sirve para dividir el papel en partes iguales, como veremos más adelante.

Un caso particular: dividir el papel en 5 partes iguales

Supongamos que queremos dividir en cinco partes iguales el lado de un cuadrado de longitud 1. En primer lugar, hacemos una marca aproximada (p_0) donde creemos que se encuentra el \frac{1}{5}. Después, doblamos desde el lado derecho (1) hasta p_0 y marcamos el punto medio (p_1); ahora, de nuevo desde 1 hasta p_!, marcando también el punto medio (p_2); y después dos desde el lado izquierdo (0) hasta p_2, que genera p_3 como punto medio, y hasta el propio p_3, obteniendo p_4 como punto medio (es decir, realizamos la secuencia 1100):

De esta forma, el error inicial se habrá dividido entre 16. Si repetimos de nuevo el proceso tomando ahora p_4 como punto inicial, el error se dividirá por 256, etc. Veamos por qué:

  • La marca inicial está en el punto p_0=\cfrac{1}{5}+\varepsilon, donde \varepsilon\in\mathbb R es el error cometido inicialmente.
  • La segunda marca está en p_1= \cfrac{3}{5}+\cfrac{\varepsilon}{2} (punto medio de p_0 y 1).
  • La tercera marca está en p_2 =\cfrac{4}{5}+\cfrac{\varepsilon}{2^2} (punto medio de p_1 y 1).
  • La cuarta marca está en p_3 = \cfrac{2}{5}+\cfrac{\varepsilon}{2^3} (punto medio de 0 y p_2).
  • La quinta marca está en p_4 = \cfrac{1}{5}+\cfrac{\varepsilon}{2^4} (punto medio de 0 y p_3).

Análogamente, con cuatro pliegues más podemos calcular p_8 = \cfrac{1}{5}+\cfrac{\varepsilon}{2^8}, con otros cuatro tendríamos p_{12} = \cfrac{1}{5}+\cfrac{\varepsilon}{2^{12}}, etc. Es decir, con este método el error decrece exponencialmente con cada iteración y, a pesar de ser un método aproximado, en la práctica resulta muy satisfactorio. En este caso, además, el resto de marcas que hacemos sobre el papel también convergen hacia los valores de \cfrac{2}{5}, \cfrac{3}{5} y \cfrac{4}{5}, aunque es evidente que con una buena aproximación de \cfrac{1}{5} es suficiente para obtener el resto de divisiones.

El caso general: dividir el papel en n partes iguales

El método de Fujimoto puede adaptarse para dividir el papel en cualquier número de partes iguales, pero ¿cómo sabemos qué secuencia de plegado debemos seguir? La respuesta es tan simple como representar en binario el inverso de dicho número y leer los decimales de derecha a izquierda:

\begin{array}{|c|c|c|} \hline \textbf{N\'umero de partes} & \textbf{Inverso en base 2} & \textbf{Secuencia}\\ \hline & & \\ 3 & \cfrac{1}{3} = (0.\widehat{01})_2 & 10\\ & & \\ \hline & & \\ 5 & \cfrac{1}{5} = (0.\widehat{0011})_2 & 1100\\ & & \\ \hline & & \\ 7 & \cfrac{1}{7} = (0.\widehat{001})_2 & 100\\ & & \\ \hline & & \\ 9 & \cfrac{1}{9} = (0.\widehat{000111})_2 & 111000\\ & & \\ \hline \end{array}

Veamos por qué funciona. Como hemos visto en el ejemplo anterior, inicialmente comenzamos con un número cualquiera p_0 en el intervalo (0,1). Si expresamos p_0 en base 2, tendremos un número de la forma (0.d_1 d_2 d_3 d_4\ldots)_2, donde d_i es la i-ésima cifra decimal. Por tanto, p_0 en base 10 es:

\cfrac{d_1}{2}+\cfrac{d_2}{2^2}+\cfrac{d_3}{2^3}+\cfrac{d_4}{2^4}+\cdots

Después, dependiendo de la secuencia, se realizan pliegues desde la izquierda o desde la derecha hasta la última marca que tengamos hecha sobre el papel. En ambos casos estamos calculando un punto medio: o bien entre el 0 y la marca, o bien entre el 1 y la marca. Dicho de otra manera, estamos aplicando alguna las siguientes funciones para obtener un nuevo valor:

T_0(x) = \cfrac{x}{2} \qquad T_1(x) = \cfrac{x+1}{2}

Observemos qué ocurre al aplicar estas funciones al punto p_0:

T_0(p_0) = \cfrac{d_1}{2^2}+\cfrac{d_2}{2^3}+\cfrac{d_3}{2^4}+\cfrac{d_4}{2^5}+\cdots = (0.0d_1 d_2 d_3 d_4\ldots)_2

T_1(p_0) =\cfrac{1}{2} + \cfrac{d_1}{2^2}+\cfrac{d_2}{2^3}+\cfrac{d_3}{2^4}+\cfrac{d_4}{2^5}+\cdots = (0.1d_1 d_2 d_3 d_4\ldots)_2

Por tanto, si a p_0 le aplicamos la secuencia 1100 obtendremos el punto:

T_0(T_0(T_1(T_1(p_0)))) = (0.0011d_1 d_2 d_3 d_4\ldots)_2

Cuantos más decimales utilicemos para aproximar el número deseado, mayor será la precisión en la aproximación.

De este modo, el método Fujimoto no sólo sirve para dividir el lado de un papel en partes iguales, sino que si conocemos la representación binaria de un número entre 0 y 1 podremos determinar su posición sobre el lado de un papel de longitud 1 con un margen de error tan pequeño como queramos.

Esta entrada participa en la Edición 11.2 del Carnaval de Matemáticas, que organiza El mundo de Rafalillo.

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