La línea de Nagel

Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Breve reseña biográfica de Nagel

Christian Heinrich von Nagel, geómetra alemán, nació el 28 de febrero de 1803 en Stuttgart, Alemania, y murió el 27 de octubre de 1882 en la también alemana Ulm.

En 1821 Nagel comenzó a estudiar Teología, terminando sus estudios en 1825. Pero durante esos cuatro años sus intereses también se dirigieron hacia las matemáticas y la física.

Tanto fue así que llegó a ser profesor de matemáticas de secundaria en la ciudad alemana de Tübingen. Pero la cosa no quedó ahí. En 1826 Nagel se doctora gracias a su trabajo De triangulis rectangulis ex algebraica aequatione construendis (Sobre triángulos rectángulos construibles desde una ecuación algebraica). Más tarde, en 1830, Nagel se traslada a Ulm donde trabaja en el Gymnasium (escuela de secundaria preparatoria para estudios superiores) de esa localidad.

Su principal contribución a las matemáticas se encuadra en la geometría del triángulo. En este artículo vamos a ver, entre otras cosas, dos construcciones relacionadas con el triángulo que llevan su nombre: el punto de Nagel y la línea de Nagel.

Introducción

Como la distancia del baricentro a un vértice es el doble de la distancia de al punto medio del lado opuesto, la homotecia con centro y razón -1/2 transforma el triangulo , antimedial o anticomplementario de , en el triángulo , y éste en su triángulo medial o complementario .

En geometría del triángulo se llama a veces complemento de un punto a su imagen en la homotecia y anticomplemento de a su imagen en la homotecia

El punto , un punto , su complemento , y su anticomplemento están alineados, y situados de forma que es el punto medio de y .

Si en la figura colocamos el punto en el circuncentro de , el punto es el circuncentro del triángulo antimedial (que es el ortocentro de ), el punto es el circuncentro del triángulo medial (es decir el centro del círculo de 9 puntos), y la linea es la linea de Euler del triángulo.

En cambio si colocamos el punto en el incentro de , el punto es el incentro del triángulo antimedial, el punto el incentro del triángulo medial, y la linea es la linea que en Wolfram MathWorld han decidido llamar un tanto arbitrariamente línea de Nagel, por el hecho de que el incentro del triángulo antimedial es el punto de Nagel , como demostraremos a continuación.

Por otro lado el punto de Spieker es por definición el incentro del triángulo medial, y de las observaciones anteriores se concluye que el incentro , el baricentro , el punto de Spieker y el punto de Nagel están alineados, es el punto medio del segmento y .

El punto de Nagel

Llamamos ceviana de Nagel a la línea, en la figura, que une un vértice con el punto de tangencia de la circunferencia exinscrita opuesta al vértice con el lado opuesto.

El punto , al ser la intersección de una tangente común a las circunferencias inscrita y exinscrita opuesta a con la linea que une los centros de estas circunferencias es centro de una homotecia que transforma la circunferencia exinscrita en la circunferencia inscrita. Esa homotecia lleva el radio al radio , paralelo a y por tanto perpendicular a .

Por tanto la ceviana pasa por el punto , diametralmente opuesto en el círculo inscrito al punto de tangencia de ese círculo con el lado opuesto a .

Como vimos en el post sobre los círculos tritangentes y por tanto si es el punto medio de , .

Como también , resulta que las líneas y son paralelas.

Y como la homotecia , que transforma el triángulo en su antimedial, transforma la linea en una línea que pasa por paralela a , es decir en la ceviana de Nagel $AE$, resulta que las cevianas de Nagel concurren en un punto, el punto de Nagel y ese punto es el incentro del triángulo antimedial.

Del post sobre círculos tritangentes concluimos también que las cevianas de Nagel bisecan el perímetro del triángulo, es decir las dos partes del perímetro del triángulo situadas a uno y otro lado de cada ceviana de Nagel tienen igual longitud.

El punto de Spieker

El punto de Spieker es el centro del circulo inscrito en el triangulo medial, o circulo de Spieker, y tiene algunas propiedades bastante interesantes.

Si en la figura es el punto medio de y prolongamos el lado hasta de forma que , y es el punto medio de , y son paralelas y .

Camo es perpendicular a , y esta línea es la bisectriz exterior de , es paralela a la bisectriz interior de , y por tanto es una bisectriz del triángulo medial.

Por tanto las lineas que unen el punto medio de cada lado con el punto de Spieker, es decir las bisectrices del triángulo medial, bisecan el perímetro del triángulo, como las cevianas de Nagel.

Si , los segmentos son respectivamente iguales a los segmentos , y los puntos medios de esos segmentos iguales están situados a la misma distancia de la recta .

Entonces el centro de gravedad de una masa distribuida uniformemente por el perímetro del triángulo está en la linea . Como también está en las otras bisectrices del triángulo medial, resulta que el punto de Spieker es el centro de gravedad del perímetro del triángulo.

El punto medio de es equidistante de los puntos de tangencia de las circunferencias exinscritas opuestas a y con el lado , y por tanto está en el eje radical de esas circunferencias.

Como el eje radical es perpendicular a la línea que une los centros, que es la bisectriz exterior del ángulo en , resulta que el eje radical de las dos circunferencias exinscritas es la bisectriz del triángulo medial, y por tanto el punto de Spieker es el centro radical de las tres circunferencias exinscritas, es decir las tangentes desde el punto de Spieker a las circunferencias exinscritas tienen la misma longitud.

Las circunferencias de Jenkins de son las tres circunferencias tangentes interiormente a una circunferencia exinscrita y exteriormente a las otras dos.

Las tres circunferencias de Jenkins se cortan en el punto de Spieker, puesto que la inversión respecto al círculo ortogonal a las tres circunferencias exinscritas, cuyo centro es el punto de Spieker, transforma los lados del triángulo en las circunferencias de Jenkins.

Y además si el punto de Spieker está sobre la circunferencia inscrita en , las tres circunferencias de Jenkins son tangentes a una recta perpendicular a la línea de Nagel, y en otro caso el centro de la circunferencia tangente a las tres circunferencias de Jenkins está en la línea de Nagel, porque esa circunferencia es inversa de la circunferencia inscrita.

Por cierto este último punto no está, me parece, en la ETC. ¿Será nuevo? Según Geogebra su primera coordenada trilineal para (6,9,13) es 166.495..y no se encuentra en la página de búsqueda de la ETC.

La siguiente figura intenta ilustrar las propiedades anteriores.

Fuentes utilizadas para la reseña biográfica:

• Página personal de Clark Kimberling, de la Universidad de Evansville, de donde también he sacado la imagen de Nagel que ilustra el comienzo del artículo.
• Christian Heinrich von Nagel en la Wikipedia inglesa.