¿Quién no se ha preguntado alguna vez por qué las antenas parabólicas tienen exactamente esa forma y no otra? ¿Será por razones estéticas, o tal vez habrá alguna razón científica para ello? Pues, como ya habréis adivinado, la razón es científica, matemática concretamente.

Pero antes recordemos cómo se define la cónica denominada parábola:

Una parábola es una curva formada por los puntos que están a la misma distancia de un punto concreto, denominado foco, y de una recta concreta, llamada directriz.

Por tanto, para tener determinada una parábola simplemente necesitamos saber cuál es el foco y cuál es la directriz de la misma. En el siguiente applet de GeoGebra tenéis una párabola y podéis jugar con su forma moviendo su foco, el punto F, y su directriz, la recta d. Además podéis ver que si movemos el punto P a lo largo de la misma, la distancia de él a F y a d es siempre la misma:

También se aprecia que una parábola tiene un eje de simetría, que es la recta que pasa por su foco y por el punto más bajo (o más alto, según la posición de la directriz respecto del foco) de la misma, que es el vértice de la parábola.

Bien, ¿qué figura representa una antena parabólica? Pues un paraboloide de sección circular (a partir de ahora simplemente paraboloide), como el que podéis ver en esta imagen:

aunque posiblemente lo veáis mejor algo inclinado. Seguro que en la siguiente imagen reconocéis mejor esa antena parabólica a la que estamos haciendo referencia:

Y no solamente antenas parabólicas, sino radiotelescopios, micrófonos parabólicos o algunas cocinas solares.

Como se puede ver en las gráficas anteriores, un paraboloide es una figura tridimensional obtenida al hacer girar una parábola respecto a una cierta recta, que es el eje del paraboloide. Si hacemos un corte en esta figura con un plano que contenga a este eje obtenemos una parábola. Todos los cortes que podamos hacer así tienen el mismo vértice y el mismo foco, por lo que esos puntos son el vértice y el foco del paraboloide.

Vamos al tema. La razón por la que estos instrumentos nombrados anteriormente (antenas, radiotelescopios, etc.) tienen forma de paraboloide es una interesante propiedad de la parábola que enunciamos a continuación:

Los rayos paralelos al eje de simetría de la parábola son reflejados por la misma hacia su foco.

Es decir, que si yo envío un rayo hacia la parábola que sea paralelo a su eje, entonces ésta lo refleja hacia su foco. Vamos, que el reflejo de los rayos paralelos al eje de la parábola pasa por el foco de la misma.

¿Y para qué puede servir esto? Pues muy sencillo. Si nosotros construimos un paraboloide y colocamos un receptor de señal en el foco del mismo, podremos enviar señales paralelas al eje del paraboloide con la total seguridad de que todas ellas serán recibidas por dicho receptor. O podemos orientar un paraboloide con un receptor en su foco hacia el Sol para acumular así energía solar, que a pequeña escala puede aplicarse a la cocina y a gran escala en centrales de captación de energía solar.

Pasemos ahora a la parte más matemática del asunto. Vamos a demostrar matemáticamente este hecho, pero vamos a hacerlo en dos partes. Primero un resultado previo y después el que queremos demostrar, que los rayos paralelos al eje se reflejan hacia el foco. Vamos con el previo:

Dado un punto P de una parábola con directriz d y foco F, representamos la proyección del mismo en la directriz, punto al que llamamos D, y dibujamos los segmentos que unen a P con el foco, PF, y con su proyección sobre d, PD. Entonces la recta tangente a la parábola en el punto P divide al ángulo FPD en dos ángulos iguales.

Representemos gráficamente esta situación:

El enunciado anterior dice que el ángulo formado por los segmentos PF y PD, \alpha, es bisecado (dividido en dos ángulos iguales), los dos \beta que aparece en la imagen, por la tangente a la parábola en el punto P. Vamos a demostrar este resultado:

Los segmentos PF y PD son iguales, por ser P un punto de la parábola (recordemos, los puntos que están a igual distancia de un punto llamado foco y una recta llamada directriz). Entonces el triángulo PFD es isósceles.

Tomemos ahora el punto medio del segmento FD, que llamamos M. Al ser isósceles nuestro triángulo, se cumple que la recta que pasa por M y P divide al ángulo FPD en dos ángulos iguales. Ahora solamente falta demostrar que dicha recta es la tangente a la parábola en P.

Para ello vamos a suponer que nuestra parábola es la de ecuación y=x^2 (no perdemos nada con esta suposición, ya que todas las parábolas son esencialmente iguales). El punto P tendrá por tanto coordenadas (a, a^2), y las coordenadas y de F y de D serán opuestas (iguales pero con signos contrarios), por lo que el punto M, punto medio del segmento FD, tiene coordenada y igual a 0.

(En esta imagen puede verse una representación de esta situación con la parábola que hemos usado en el resto del post. La recta en color negro representa al eje X)

Ahora, la coordenada x de M es la mitad que la de P, a/2. Por otra parte, si llamamos H al corte con el eje X de la perpendicular a él que pasa por P, la pendiente del segmento MP es la longitud de PH entre la longitud de MH, es decir, {a^2 \over (a/2)}=2a.

Pero sabemos que la pendiente de la tangente a y=x^2 en el punto (a, a^2) es la derivada de x^2 en el punto a, esto es, 2a. Al ser igual a la anterior se concluye que la recta que pasa por M y P es la tangente a la parábola en el punto P.

¿Todo esto que significa? Pues que cualquier línea paralela al eje de la parábola, que tocará en un punto P de la misma, es reflejada por la tangente en P hacia adentro con el mismo ángulo que forma dicha tangente con el segmento proyectado desde P a la directriz, por lo que el reflejo de la misma va directamente hacia el foco de la parábola:

Interesante, ¿verdad?

Fuente y enlaces relacionados:

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