Os dejo el problema semanal de esta semana:
Sea
un triángulo tal que
. Sean
y
, respectivamente, los puntos de intersección del lado
con la bisectriz del ángulo
y de
con la bisectriz de
. Finalmente, sean
y
los inradios (radios de las circunferencias inscritas) de los triángulos
, respectivamente. Hallar el circunradio (radio de la circunferencia circunscrita) del triángulo
Que se os dé bien.
Actualización:
Añado esta imagen representativa del problema:
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El radio es la distancia entre los centros de r1 y r2, igual a (r1-r2)/sin30º
Estupendo, Sebas. ¿Podrías escribir una demostración?
Si el ángulo BAC=60º, el ángulo que forman las bisectrices del triángulo ABC es de 120º, ángulo BIC=120º=ángulo PIQ. De la misma forma en el triángulo APQ el ángulo PSQ=120º. Al ser el ángulo inscrito en la circunferencia circunscrita PAQ=60º y el ángulo QIP=120º también es inscrito. Por lo tanto el incentro “I” pertenece a la circunferencia. Si trasladamos el circulo circunscrito al triangulo APQ de forma que su centro coincida con el punto “I”, al ser su ángulo central PIQ=120º y tambien PSQ=120º, entonces el incentro “S” pertenece a esta circunferencia. El radio es la distancia entre los centros… Lee más »
Sebas no se si este mal pero , ¿ asumes que
es decir que 
coincide con el punto de tangencia ?
El gráfico advierte que es una imagen representativa, que con la realidad tiene poca coincidencia. La circunferencia inscrita, no es inscrita…. Y por una parte existe el triángulo IEP, que en la otra parte debería existir otro igual I?Q girado 120º respecto de “I”
Si el ángulo en A igual a 60º, el ángulo en B igual a B, el ángulo en C es 120-B, el ángulo IBC=B/2, ángulo ICB=60-B/2, entonces el ángulo BIC=180-B/2-(60-B/2)
Para la conclusión final de Sebas se puede observar que como A,Q,I,P son concíclicos, el ángulo PQI vale 30º porque es igual al IAP. También QPI vale 30º. Si O es el centro de la circunscrita a APQ, PQO=QPO=30º. Entonces I es el simétrico de O respecto a QP, y reflejando la circunferencia circunscrita a APQ sobre QP, obtenemos una circunferencia con centro en I que pasa por S, porque QSP=120º.
Otra prueba:
Por tanto, el cuadrilátero
es cíclico, y la circunferencia circunscrita pasa por 
.
Según el teorema del seno,
, con lo que 
(circunradio).
Dado que
es incentro de 
e 
es intersección de la circunferencia circunscrita con la bisectriz de 
, se tiene que 
.
Finalmente, si las circunferencias inscritas de
y 
tocan al segmento 
en 
y 
, respectivamente, entonces
Muy buena solución Sebas , Fede y M. La solución de M es más corta aplicando el teorema del seno para obtener . Para seguir el razonamiento, he escrito un documento aparte con la figura correspondiente. En el siguiente enlace podéis ver dicho documento: https://www.dropbox.com/s/jbd6b22g6hpr3sq/Gaussianos1.pdf Sobre este tipo de geometría (geometría sintética o geometría antigua) ¿ya no se enseña? en mi caso, ni en bachillerato ni en la licenciatura de Matemáticas tuve una asignatura de ésto, recuerdo algo de la secundaria. No sé si se debe a que es demasiado »básico», o que es un tema demasiado antiguo, pero creo… Lee más »
RB, algunos libros sobre geometría sintética:
(Todos me parecen recomendables.)
Puig Adam. Geometría métrica I-II.
Robert Bix. Topics in geometry.
Euclides. Elementos.
F.G.M. Exercices de géométrie.
I.M. Yaglom. Geometric transformations I-IV.
Roger A. Johnson. Advanced euclidean geometry.
Honsberger. Episodes in nineteenth and twentieth century euclidean geometry.
Luigi Cremona. Elements of projective geometry.
Gracias fede, estuve mirando el primer tomo de Puig Adam. Geometría métrica y tiene buena pinta.
Por cierto, ¿alguien ha intentado dar una solución analítica? Si tomamos como referencia un sistema en el que el origen sea el punto
, y como base ortonormal 
donde 
.
son 
, 
y 
, donde 
.
y en teoría el problema se reduciría a una comprobación. Aunque, no se si los cálculos se volverían muy tediosos. Si tengo tiempo, intentaré dicha comprobación.
En este sistema las coordenadas de
De esta forma, sólo tenemos que tratar con el parámetro
Aqui puse un applet de GeoGebra con la solución:
https://www.geogebra.org/m/f46srwhh
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Gaussianos_20121106.html
Es de destacar que el punto S, a diferencia de lo que se ve en la figura del enunciado, es siempre exterior a la circunferencia inscrita en el △ABC, aunque está muy próximo a ella. Lo que dicho sea de paso, dificulta notablemente el problema.