Una maravillosa y "sencilla" identidad de Ramanujan

Las fórmulas, identidades y expresiones sorprendentes debidas a Ramanujan son famosas dentro del «mundillo matemático». Las hay de distintos tipos, pero la verdad es que muchas de ellas están relacionadas con el número Pi. Hoy os traigo una que he conocido hace poco y que me ha gustado especialmente.

La identidad en cuestión la propuso como ejercicio el propio Ramanujan en «The Journal of the indian Mathematical Society» en 1914 y relaciona una serie infinita, una fracción continua y los dos números irracionales y trascendentes más importantes y conocidos. Aquí la tenéis:

No me digáis que no es maravillosa…y no se puede negar que es «de Ramanujan».

Bueno, pasemos ahora a la otra parte, la de «sencilla». ¿Cómo podríamos demostrar que esta identidad es cierta? ¿Os atreveríais a demostrarla? Os animo a que paréis de leer ahora mismo y penséis cómo podríais atacarla…

…¿Ya? Bueno, sea como sea, tras este pequeño parón vamos a dar unas ideas sobre cómo se podría demostrar esta «sencilla» identidad de Ramanujan.

Comencemos analizando la primera parte, la suma infinita. Si supiéramos qué función $f(x)$ tiene la siguiente serie de Taylor

$f(x)=\cfrac{x}{1}+\cfrac{x^3}{1 \cdot 3}+\cfrac{x^5}{1 \cdot 3 \cdot 5}+\cdots$

entonces tendríamos que $f(1)$ sería igual a nuestra serie infinita. Tomando la expresión anterior y derivando llegamos de forma sencilla a la siguiente ecuación diferencial:

$f'(x)=x f(x)+1$

Resolviendo dicha ecuación diferencial, nos queda la siguiente función:

$f(x)=e^{x^2/2} \, \displaystyle{\int_0^x e^{-t^2/2} \, dt}$

(Sí, hay por ahí una constante, pero podemos ver fácilmente que es cero.)

Tomando ahora $x=1$ , llegamos a:

$\cfrac{1}{1}+\cfrac{1}{1 \cdot 3}+\cfrac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5}+ \dots=\sqrt{e} \, \displaystyle{\int_0^1 e^{-t^2/2} \, dt}$

La segunda parte es algo más complicada, y no entraremos en detalles (podéis verlos en el primer enlace del listado del final de este artículo). Sí es interesante comentar que entra en juego la famosa función gaussiana. Más concretamente, el área de la mitad de la campana de Gauss:

$\displaystyle{\int_0^{\infty} e^{-x^2/2} \, dt=\sqrt{\cfrac{\pi}{2}}}$

Intentamos buscar qué ecuación diferencial cumple la función

$g(x)=\cfrac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{2}{x+\frac{3}{x+\frac{4}{\ddots}}}}}$

y resulta que cumple la ecuación $g'(x)=xg(x)-1$ . Resolviéndola, uniendo el resultado con lo obtenido para la serie infinita inicial y evaluando en $x=1$ , llegamos al resultado buscado:

$\left ( \cfrac{1}{1}+\cfrac{1}{1 \cdot 3}+\cfrac{1}{1 \cdot 3 \cdot 5}+\dots \right ) + \cfrac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{2}{1+\frac{3}{1+\frac{4}{\ddots}}}}} =\sqrt{\cfrac{\pi e}{2}}$

Repito que tenéis los detalles en el primer enlace del listado que encontraréis un poco más abajo.

Para finalizar, recalcar que esta identidad se podría considerar «sencilla» porque los conocimientos y las herramientas necesarias para demostrarla están al alcance de más gente de lo que lo están los requeridos para otros de sus descubrimientos, De hecho, John Baez la cataloga como «la más sencilla» (y G. H. Hardy como «la menos impresionante»). A pesar de la opinión del gran Hardy, a mí me sigue pareciendo impresionante y, por qué no decirlo, de una gran belleza, que no tiene nada que envidiar en este sentido a ninguna de las otras maravillas que Ramanujan nos enseñó.

Sobre ello, ¿qué piensas? ¿Qué otros descubrimientos de Ramanujan te parecen bellos y susceptibles de ser tratados por aquí? Puedes contarnos tu opinión en los comentarios.

Fuente y algunas entradas sobre Ramanujan publicadas en Gaussianos:

La imagen de Ramanujan la he tomado de aquí.