El problema de Basilea consiste en determinar cuál es el valor exacto de la suma de los cuadrados de los inversos de todos los números naturales, es decir, calcular la suma de la siguiente serie:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n^2}}

Este problema fue propuesto por primera vez por el matemático Pietro Mengoli en 1644 y fue popularizado por Jakob Bernoulli en 1689, pero ninguno de los dos lo resolvieron. Otros grandes matemáticos de la época, como Johann Bernoulli, Leibnitz y Wallis tampoco pudieron encontrar la solución (aunque este último calculó su valor con 3 decimales). Este hecho le dio al problema aún más importancia. Al final fue el genial Leonhard Euler quien le puso el cascabel al gato, como en muchas otras ocasiones. De hecho este problema se acabó denominando así porque tanto Euler como los Bernoulli residían allí. Veamos cómo lo hizo.

Demostración del problema de Basilea

Ya vimos en este post sobre la identidad de Euler la expresión de sin(x) como suma infinita:

\sin{(x)}=x-\cfrac{x^3}{3!}+\cfrac{x^5}{5!}-\cfrac{x^7}{7!}+\ldots

Sabemos que sin(x) = 0 cuando x = 0, π (Pi), -π (Pi), 2π (2Pi), -2π (-2Pi),…, es decir, en 0 y los múltiplos enteros de π (Pi). Por tanto podemos expresar la función sin(x) como producto de una constante por (x – cada una de las raíces). Queda algo así:

x-\cfrac{x^3}{3!}+\cfrac{x^5}{5!}-\cfrac{x^7}{7!}+\ldots=Cx(x-\pi)(x+\pi)(x-2\pi)(x+2\pi)(x-3\pi)(x+3\pi) \ldots

Multiplicamos los dos factores asociados a π (Pi), los dos asociados a 2π (Pi), etc.:

x-\cfrac{x^3}{3!}+\cfrac{x^5}{5!}-\cfrac{x^7}{7!}+\ldots=Cx(x^2-\pi^2)(x^2-4\pi^2)(x^2-9\pi^2) \ldots

Como para cada n tenemos que x^2 - n \pi^2 = 0 podemos escribirlos de la siguiente forma:

x-\cfrac{x^3}{3!}+\cfrac{x^5}{5!}-\cfrac{x^7}{7!}+\ldots=Cx \left (1-\cfrac{x^2}{\pi^2} \right ) \left (1-\cfrac{x^2}{4\pi^2} \right ) \left (1-\cfrac{x^2}{9\pi^2} \right ) \ldots

Dividimos por x:

\cfrac{\sin{(x)}}{x}=1-\cfrac{x^2}{3!}+\cfrac{x^4}{5!}-\cfrac{x^6}{7!}+\ldots=C \left (1-\cfrac{x^2}{\pi^2} \right ) \left (1-\cfrac{x^2}{4\pi^2} \right ) \left (1-\cfrac{x^2}{9\pi^2} \right ) \ldots

Ahora, como \sin{(x)} \over x tiende a 1 cuando x tiende a 0, tenemos que C = 1:

1-\cfrac{x^2}{3!}+\cfrac{x^4}{5!}-\cfrac{x^6}{7!}+\ldots=\left (1-\cfrac{x^2}{\pi^2} \right ) \left (1-\cfrac{x^2}{4\pi^2} \right ) \left (1-\cfrac{x^2}{9\pi^2} \right ) \ldots

Tenemos una igualdad entre polinomios. Eso implica que los términos de cada uno de los grados deben ser iguales a ambos lados de la igualdad. Quedémonos con los términos de x^2:

-\cfrac{x^2}{3!}=-\cfrac{x^2}{\pi^2}-\cfrac{x^2}{4\pi^2}-\cfrac{x^2}{9\pi^2}- \ldots

Multipliquemos por -\pi^2 y dividamos por x^2:

\cfrac{\pi^2}{6}=1+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{9}+\cfrac{1}{16}+ \ldots

Como vemos hemos obtenido el resultado buscado:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \cfrac{1}{n^2}=\cfrac{\pi^2}{6}}

En esta demostración Euler asume ciertos resultados como ciertos que demostraría más adelante. Pero la demostración es perfectamente válida. Aquí podéis ver otra demostración de este resultado.

Y como véis seguimos comprobando que π (Pi) puede aparecer en los sitios más insospechados.

Fuente de la demostración: Fermat’s Last Theorem

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