Marilyn vos Savant, nacida en 1946, debe ser una persona bastante interesante. No en vano posee el gran honor de figurar en el Libro Guinness de los Récords por ser la persona con el Cociente Intelectual (CI) más elevado del mundo, con 228. Es, entre otras cosas, columnista, escritora y dramaturga. Pertenece a Mensa y Prometheus, y está casada con Robert Jarvik, famoso por desarrollar el corazón artificial Jarvik-7. Da conferencias con cierta frecuencia y tiene un doctorado Honoris Causa por la Universidad de Nueva Jersey.

Como podéis intuir, lo que dio a Marilyn fama a nivel mundial fue el tema de su CI. No se conoce todos los días a alguien con semejante barbaridad de Cociente Intelectual, ¿verdad? El caso es que su inclusión en 1986 en el Libro Guinness por este hecho llevó a la revista Parade a publicar una selección de preguntas con respuestas de la propia Marilyn que terminó por convertirse en la columna semanal Ask Marilyn, donde resuelve problemas matemáticos y lógicos y responde a preguntas de temáticas diversas.

Y en esta columna es donde comienza nuestra historia de hoy.

En 1990, Marilyn recibe una carta de Craig F. Whitaker que decía, entre otras cosas, lo siguiente:

Suppose you’re on a game show, and you’re given the choice of three doors. Behind one door is a car, behind the others, goats. You pick a door, say #1, and the host, who knows what’s behind the doors, opens another door, say #3, which has a goat. He says to you, «Do you want to pick door #2?» Is it to your advantage to switch your choice of doors?

que viene a ser más o menos esto:

Supón que estás en un concurso y te han dado a elegir entre tres puertas. Detrás de una de ellas hay un coche y detrás de las otras dos hay cabras. Eliges una puerta, digamos la #1, y el presentador, que sabe lo que hay detrás de cada puerta, abre una de las que no has elegido, digamos la #3, dejando ver detrás de ella a una cabra. Y ahora te pregunta: «¿Quieres quedarte con la puerta #2?»

¿Es mejor en este caso cambiar tu elección inicial?



Actualización (24/12/2011) para aclarar el problema:

La cuestión consiste en que elegimos una puerta y después el presentador nos abre una de las que no hemos elegido, detrás de ella aparece una cabra (da igual cuál sea el número de cada puerta) y nos ofrece la posibilidad de quedarnos con nuestra elección inicial o cambiar a la que ha dejado cerrada. Evidentemente, el presentador sabe qué hay detrás de cada puerta desde el principio. Y también se supone que las reglas son siempre iguales, que siempre abre una puerta con una cabra y siempre nos ofrece cambiar.



Vamos, la cuestión es saber si matemáticamente es mejor quedarse con la elección inicial, la #1, o cambiar a la que el presentador no ha abierto de entre las otras dos, la #2 en este caso.

Como muchos de vosotros sabréis, o habréis intuido al leer todo esto, nos referimos al famosísimo problema de Monty Hall, en la actualidad muy estudiado y del que podemos encontrar muchísima información en internet (de hecho en Gaussianos ya nos habló Fran de él hace más de 5 años).

Pero en aquel momento, 1990, no era ni muchísimo menos tan conocido (aunque no era nuevo, ya que ya había aparecido en la columna de Martin Gardner en Scientific American). La buena de Marilyn publicó la pregunta de Whitaker y dio la siguiente respuesta, que efectivamente es la solución del problema:

Conviene cambiar de puerta, ya que en el caso descrito cambiar a la puerta #2 nos da una probabilidad de \textstyle{\frac{2}{3}} de llevarnos el coche frente a una probabilidad \textstyle{\frac{1}{3}} que tendríamos si nos quedamos con la elección inicial, la puerta #1.

Pero posiblemente ni la propia Marilyn imaginaba lo que ocurriría después de la publicación de su columna. En la redacción de Parade comenzaron a recibir cartas y más cartas apuntando que la respuesta de Marilyn era incorrecta. En ellas se daba como respuesta correcta que tanto quedándose con la puerta elegida al principio como cambiando de puerta teníamos probabilidad \textstyle{\frac{1}{2}} de llevarnos el coche. Aunque, como hemos dicho antes, este problema está muy estudiado, creo que es interesante volver a comentar su solución aquí:

Supongamos que elegimos la puerta #1 (el número que tomemos es lo de menos) y el presentador, que sabe qué hay detrás de cada puerta, nos enseña la #3 y hay una cabra. ¿Qué ocurre si cambiamos a la #2? Hay tres posibles casos:

Primer caso: Detrás de la puerta #1 estaba el coche. Si cambiamos a la #2 nos quedaríamos con una cabra.

Segundo caso: Detrás de la puerta #1 estaba una de las cabras. Si cambiamos a la #2 nos llevaríamos el coche, ya que el presentador nos habría enseñado la otra cabra en la #3.

Tercer caso: Detrás de la puerta #1 estaba la otra cabra. Cambiando a la #2 volvemos a llevarnos el coche.

Tres posibles casos si cambiamos. En dos de ellos nos llevamos el coche y en uno de ellos una cabra. Si no cambiamos nos llevaríamos el coche en un caso sobre tres posibles y una cabra en dos de esos tres. Por tanto:

P(Coche \; si \; cambiamos)=\cfrac{2}{3} \quad || \quad P(Coche \; si \, no \; cambiamos)=\cfrac{1}{3}



Actualización (24/12/2011). Añado un esquema con todas las posibilidades. Se parte de una colocación inicial de los objetos detrás de cada puerta y después se estudian todos los posibles casos (por ello la colocación inicial no es importante). Rodeados de rojo están los premios que nos llevaríamos en el caso de cambiar de puerta:

Como se puede ver, en dos casos de los tres posibles nos llevaríamos el coche, y en uno de ellos la cabra.



Es decir, Marilyn estaba en lo cierto, en esta situación es mejor cambiar de puerta, ya que así es más probable llevarse el coche. Pero eso no es lo que pensaban las, aproximadamente, 10000 personas que enviaron una carta a Parade criticando la respuesta de Marilyn. Entre ellas había muchísimos matemáticos, muchos de ellos doctores, que se mostraban asombrados y decepcionados por el supuesto error de la columnista, quejándose de paso de la poca formación matemática de quien escribió aquella respuesta. Algunas de las cartas no tenían desperdicio:

Yo he sido un fiel lector de su columna, y hasta ahora no tenía ninguna razón para dudar de ti. Sin embargo, en esta materia (en la cual tengo experiencia), tu respuesta está claramente en contradicción con la verdad.

Como matemático profesional, estoy muy preocupado por la falta de habilidad matemática del público en general. Por favor, ayuda confesando tu error y, en el futuro, sé más prudente.

¿Cuántos matemáticos indignados se necesitan para cambiar tu opinión?

Si todos estos doctores están equivocados, el país se encontraría en serios problemas.

Quizás las mujeres ven los problemas matemáticos de forma diferente a los hombres.

¡Tú eres la cabra!

Tenéis más en la web de Marilyn vos Savant.

Entre estos matemáticos que creían que estos cálculos eran incorrectos se encontraba uno de los más grandes del siglo XX, si no de toda la historia de las Matemáticas: Paul Erdös, que dijo

Esto es imposible.

y comentó que solamente cambiaría de opinión cuando pudiese comprobar su propio error mediante una simulación por ordenador. Cuando esto se produjo, Erdös admitió que estaba equivocado.

Seguro que esta simulación por ordenador junto con el desglose de todas las posibilidades que pueden darse en este problema hizo ver a todos los que se enviaron sus quejas que es preferible analizar adecuada y convenientemente el problema que tenemos delante antes de responder llevados por la intuición. Todos ellos, hasta los matemáticos, incluyendo a Erdös, tuvieron que rendirse a la evidencia y admitir que ella era quien tenía razón. Ella, Marilyn vos Savant, la persona con el mayor CI del mundo y la reina del problema de Monty Hall.


Fuentes y enlaces relacionados:

  • El artículo Problema de Monty Hall que Pablo Aguado García ha escrito en el número 2 de la revista Matgazine me ha recordado esta historia, y me ha servido también como fuente para este artículo.
  • Marilyn vos Savant en la Wikipedia en inglés.
  • En Historias de la Ciencia ya se habló hace algo más de un año de esto en El problema de Monty Hall.
  • La foto de Marilyn vos Savant la he tomado de aquí.

Por cierto, podéis trastear con este simulador del New York Times y podéis encontrar más en los enlaces externos de la página del problema de Monty Hall en la Wikipedia en español.


Este post es mi tercera contribución con la Edición 2.9 del Carnaval de Matemáticas cuya anfitriona es @EbeniTIC con su blog Que no te aburran las Mat@s.

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