…existe una relación entre π (Pi) y la sucesión de Fibonacci?. Aquí está:

Recordemos la definición de la sucesión de Fibonacci:

imagen 1

Entonces se tiene la siguiente igualdad:

imagen 2

Fijémonos en los denominadores que aparecen en cada una de las fracciones que actúan como argumento de las arcotangentes. ¿Os suenan?. ¡Exacto!. Son los términos de la sucesión de Fibonnaci para k impar (comenzando por F3 = 2). Escrito en forma de suma:

imagen 3

Es decir, que si hacemos esa suma y la multiplicamos por 4 el resultado es π (Pi)

Lo he comprobado con el programa Mathematica y haciendo la suma de los 14 primeros términos de esa serie y multiplicándola por 4 nos aparece 3.1415908173, es decir, una aproximación de π (Pi) a 5 decimales exactos. Por si alguien tiene el programa la sentencia a introducir sería la siguiente:

N[4 Sum[ArcTan[1/Fibonacci[2 k+1]],{k,1,15}],11]

Para obtener, por ejemplo, una aproximación de π (Pi) con 10 cifras exactas (la parte entera, 3, y 9 decimales exactos) necesitamos sumar los primeros 27 términos de esta serie. La sentencia a introducir en el programa sería algo así:

N[4 Sum[ArcTan[1/Fibonacci[2 k+1]],{k,1,27}],12]

Obtendríamos 3.14159265357, mientras que el valor de π (Pi) redondeado al mismo número de cifras significativas es 3.14159265359.

Conforme aumentemos el número de términos que sumamos la aproximación será (evidentemente) mucho mejor.

Realmente sorprendente la manera de relacionar conceptos tan distintos y lejanos mediante una fórmula a la vez tan simple y tan compleja. Vía.

Dedicado a rober, que en este comentario dijo que iba a intentar buscar algo parecido.

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