Según la notación estadounidense, un quattuordecillion es un uno seguido de cuarenta y cinco ceros:
En el libro Las matemáticas de Oz de Clifford A. Pickover (libro que ya ha aparecido en este blog alguna vez) se plantea un problema que involucra a este número cuyo resultado es bastante sorprendente. Os lo planteo aquí:
Si llamamos
al quattuordecillion, calcula el valor de la siguiente expresión:
También podemos plantear el problema en su forma más general:
Dado
, calcular el valor de la siguiente expresión:
El resultado, como he dicho antes, es ciertamente sorprendente. Lo que no conozco es una demostración del mismo. A ver si alguien la encuentra.
J.H.S. ya planteó un caso particular en este post de su blog. En los comentarios dan la respuesta, pero no su demostración.
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A ver que tal…si
: 
Además, el dominio de la raíz se puede extender a [latex]-1-\sqrt{2},-2[/latex], para obtener
siempre que
.
El quattuordecillion…
Según la notación estadounidense, un quattuordecillion es un uno seguido de cuarenta y cinco ceros. En el libro Las matemáticas de Oz de Clifford A. Pickover se plantea un problema que involucra a este número cuyo resultado es bastante sorprendente…
Yo llamaría a ese número el «mil septillones», ya se sabe, estamos en «la parte del mundo que no es Estados Unidos» donde el billón es un millón de millones. Nuestro quattuordecillón sería algo mayor, concretamente
.
Un mil septillones.
El quattuordecillion…
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El quattuordecillion…
Hay vida más allá de los millones. Según la notación estadounidense, un quattuordecillion es un uno seguido de cuarenta y cinco ceros: 1000000000000000000000000000000000000000000000 En el libro Las matemáticas de Oz de Clifford A. Pickover se plan…
El quattuordecillion…
Hay vida más allá de los millones. Según la notación estadounidense, un quattuordecillion es un uno seguido de cuarenta y cinco ceros: 1000000000000000000000000000000000000000000000 En el libro Las matemáticas de Oz de Clifford A. Pickover se plan…
Uso la notación![R([a_1,b_1][a_2,b_2] \ldots [a_k,b_k]) = \sqrt{a_1 + b_1 \sqrt{a_2 + b_2 \sqrt{ \cdots \sqrt{ a_k+ b_k } }}}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=R%28%5Ba_1%2Cb_1%5D%5Ba_2%2Cb_2%5D+%5Cldots+%5Ba_k%2Cb_k%5D%29+%3D+%5Csqrt%7Ba_1+%2B+b_1+%5Csqrt%7Ba_2+%2B+b_2+%5Csqrt%7B+%5Ccdots+%5Csqrt%7B+a_k%2B+b_k+%7D+%7D%7D%7D+&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "R([a_1,b_1][a_2,b_2] \ldots [a_k,b_k]) = \sqrt{a_1 + b_1 \sqrt{a_2 + b_2 \sqrt{ \cdots \sqrt{ a_k+ b_k } }}}")
.
Si![\displaystyle L_k(x) = R([1,x][1,x+1] \ldots [1,x+k]), \quad y \quad L_{\infty}(x) = \lim_{ k \to \infty} L_k(x)](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+L_k%28x%29+%3D+R%28%5B1%2Cx%5D%5B1%2Cx%2B1%5D+%5Cldots+%5B1%2Cx%2Bk%5D%29%2C+%5Cquad+y+%5Cquad+L_%7B%5Cinfty%7D%28x%29+%3D+%5Clim_%7B+k+%5Cto+%5Cinfty%7D+L_k%28x%29+&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\displaystyle L_k(x) = R([1,x][1,x+1] \ldots [1,x+k]), \quad y \quad L_{\infty}(x) = \lim_{ k \to \infty} L_k(x)")
,
. (Supongo x, las raices y todo positivo. Entonces R es función creciente de cada 
)
demostramos que
si
Por tanto si![E_k = R([1,x][1,x+1]\ldots [1,x+(k-1)][1,(x+k)(x+k+2)]), \quad E_k=x+1](https://s0.wp.com/latex.php?latex=E_k+%3D+R%28%5B1%2Cx%5D%5B1%2Cx%2B1%5D%5Cldots+%5B1%2Cx%2B%28k-1%29%5D%5B1%2C%28x%2Bk%29%28x%2Bk%2B2%29%5D%29%2C+%5Cquad+E_k%3Dx%2B1+&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "E_k = R([1,x][1,x+1]\ldots [1,x+(k-1)][1,(x+k)(x+k+2)]), \quad E_k=x+1")
para todo k y 
.
Como
existe y 
Usando que![R(\ldots[a_i, b_i][a_{i+1},b_{i+1}]\ldots) = R(\ldots[a_i, h^{1/2}b_i][\dfrac{a_{i+1}}{h},\dfrac{b_{i+1}}{h}]\ldots)](https://s0.wp.com/latex.php?latex=R%28%5Cldots%5Ba_i%2C+b_i%5D%5Ba_%7Bi%2B1%7D%2Cb_%7Bi%2B1%7D%5D%5Cldots%29+%3D+R%28%5Cldots%5Ba_i%2C+h%5E%7B1%2F2%7Db_i%5D%5B%5Cdfrac%7Ba_%7Bi%2B1%7D%7D%7Bh%7D%2C%5Cdfrac%7Bb_%7Bi%2B1%7D%7D%7Bh%7D%5D%5Cldots%29+&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "R(\ldots[a_i, b_i][a_{i+1},b_{i+1}]\ldots) = R(\ldots[a_i, h^{1/2}b_i][\dfrac{a_{i+1}}{h},\dfrac{b_{i+1}}{h}]\ldots)")
, sacamos fuera el factor 
del último término de 
para obtener 
con
y ![\ \ Q_k = R([1/s^{1/2^{k}},x][1/s^{1/2^{k-1}},x] \ldots [1/s, x+k])](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5C+%5C++Q_k+%3D+R%28%5B1%2Fs%5E%7B1%2F2%5E%7Bk%7D%7D%2Cx%5D%5B1%2Fs%5E%7B1%2F2%5E%7Bk-1%7D%7D%2Cx%5D+%5Cldots+%5B1%2Fs%2C+x%2Bk%5D%29+&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\ \ Q_k = R([1/s^{1/2^{k}},x][1/s^{1/2^{k-1}},x] \ldots [1/s, x+k])")
.
Como
.
Y como
, y entonces 
, como queríamos demostrar.
Para
podemos proceder del modo siguiente:
Llamemos
para todo x real:
y ahora si
vemos que podemos escribir:
$latex |x+1|=\sqrt{1+x(x+2)}=\sqrt{1+x\sqrt{(x+2)^2}}=
\sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\cdot\sqrt{(x+3)^2}}}=\ldots=f(x)$
Por otro lado, se tiene que
, siempre y cuando 
y 
estén en el dominio. Esto nos permite extender el dominio al intervalo [latex]-1-\sqrt{2},-2[/latex], de modo que 
en dicho subintervalo.
En definitiva, para
: 
.
BUENOS DÍAS, DESEO SER INCLUIDO EN ESTA PAGINA, POR ESTAR PRESENTE EN REDENCIÓN..MUCHAS GRACIAS..
BENDICIONES…
SALUDOS CORDIALES