Introducción

Hace unos días, nuestro amigo Tito Eliatron nos contaba el siguiente chiste en su entrada Cómo sumar los naturales y no morir en el intento:

Esto es un número infinito de matemáticos que entran en un bar. El primero pide una cerveza. El segundo pide media cerveza. El tercero pide un cuarto de cerveza… Entonces el camarero dice:

– ¡Idiotas!

y les pone dos cervezas.

Este chiste, según algunos el peor chiste de matemáticas del mundo, necesitaría explicación para los no iniciados, aunque muchos de nosotros sí lo pillamos. Vamos a intentarlo.

La serie geométrica

Las progresiones aritméticas y geométricas son parte del currículo de Secundaria desde siempre, seguro que muchos de vosotros las recordáis. El caso que nos ocupa tiene que ver con estas últimas, pero no con este nombre sino con el nombre de series geométricas (progresión suele usarse cuando tenemos una cantidad finita de términos y serie cuando la cantidad es infinita, como va a ocurrir ahora).

Vamos a definir de forma rigurosa lo que es una serie geométrica:

Una serie geométrica es una expresión de la forma:

\displaystyle{\sum_{n=\Box}^{\infty} a^n}

con a \in \mathbb{R} Este número real a se denomina razón de la serie.

Es decir, dicho en plan general, la suma de todas potencias naturales de un número real.

Bueno, ¿todas? Depende de dónde empiece la serie, es decir, depende del número que aparezca en la cajita que hay debajo del símbolo de suma. Lo más habitual es encontrarse el {0}, pero puede aparecer cualquier número natural.

Para ver de forma más clara qué significa esto vamos a poner un par de ejemplos de serie geométrica:

  • Comenzando en {0}:

    \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} {a^n}=1+a+a^2+a^3+a^4+ \ldots}

    Es decir, sumamos todas las potencias naturales de a (recordemos que a^0=1).

  • Comenzando en 2:

    \displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty} {a^n}=a^2+a^3+a^4+ \ldots}

    En este caso sumamos todas las potencias naturales de a comenzando por la potencia a^2.

El objetivo principal de este artículo es mostraros una forma de sumar esta serie. Es decir, una forma de calcular la suma de los infinitos términos de una serie geométrica. ¿Que cómo puede ser que se puedan sumar infinitos números? Cosas del infinito, que ya sabemos que es un concepto bastante esquivo para la intuición.

Bueno, vamos al tema. Digamos que sólo podemos hablar de suma de una serie geométrica cuando el resultado de la misma sea un número real. En este tipo de serie esto solamente ocurre si y sólo si -1 < a < 1. En cualquier otro caso la serie no se puede sumar.

Inciso:

Estamos utilizando la forma tradicional y habitual de suma de series. En el post de Tito Eliatron enlazado al principio de esta entrada se comenta algo de otras formas de sumar series, y es muy posible que en Gaussianos hablemos de este tema más adelante.

Bien, vamos con la fórmula:

  • Dado a \in \mathbb{R} tal que -1 < a < 1, se tiene que:

    \displaystyle{\sum_{n=\Box}^{\infty} {a^n}=\cfrac{a^{\Box}}{1-a}}

    Es decir, la suma de una serie geométrica que comienza en un cierto número natural es igual a la razón elevada a dicho número natural entre uno menos esta razón.

Veamos esto con un par de ejemplos:

  • \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} {\left ( \cfrac{1}{3} \right )^n}=\cfrac{\textstyle{(\frac{1}{3})}^0}{1-\textstyle{\frac{1}{3}}}=\cfrac{1}{\textstyle{\frac{2}{3}}}=\cfrac{3}{2}}
  • \displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty} {\left ( \cfrac{1}{5} \right )^n}=\cfrac{\textstyle{(\frac{1}{5})}^2}{1-\textstyle{\frac{1}{5}}}=\cfrac{\textstyle{\frac{1}{25}}}{\textstyle{\frac{4}{5}}}=\cfrac{1}{20}}

¿Por qué dos cervezas?

Volvamos al chiste inicial. Vamos a reproducirlo de nuevo:

Esto es un número infinito de matemáticos que entran en un bar. El primero pide una cerveza. El segundo pide media cerveza. El tercero pide un cuarto de cerveza… Entonces el camarero dice:

– ¡Idiotas!

y les pone dos cervezas.

El primero pide una cerveza, el segundo media, el tercero un cuarto, y así sucesivamente. Si suponemos infinitos matemáticos entrando a ese bar y pidiendo fracciones de cerveza siguiendo esa tendencia tendríamos que en total piden la siguiente cantidad de cervezas:

1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{16}+ \ldots

Es decir, la cantidad total de cervezas es la suma de todas las potencias naturales de \textstyle{\frac{1}{2}}. O lo que es lo mismo, la siguiente serie geométrica:

\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \left ( \cfrac{1}{2} \right )^n}

Aplicando ahora la fórmula comentada anteriormente obtenemos el número de cervezas que pedirían entre todos estos infinitos matemáticos:

\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \left ( \cfrac{1}{2} \right )^n=\cfrac{\textstyle{(\frac{1}{2})}^0}{1-\textstyle{\frac{1}{2}}}=\cfrac{1}{\textstyle{\frac{1}{2}}}=2}

O sea que entre todos estos matemáticos habrán pedido 2 cervezas. Por ello el camarero se adelanta y se las ofrece, ahorrándose así un tiempo infinito (que es el que habría tardado en atenderles).

¿Lo pilláis ahora?

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