La conjetura ABC seguirá siendo (por ahora) una conjetura

Desde que en 2012 Shinichi Mochizuki publicara su trabajo, dividido en cuatro papers, con el que afirmaba haber demostrado la conjetura ABC, mucho ha sido lo que se ha hablado tanto de la conjetura como de la supuesta demostración. El escepticismo reinaba en la comunidad matemática, y muy pocos fueron los que se atrevieron a adentrarse en el trabajo de Mochizuki. Ahora, Peter Scholze y Jakob Stix han encontrado un problema en la demostración que, al menos por ahora, Mochizuki no ha podido/querido/sabido arreglar.

Shinichi Mochizuki

Ilustración dedicada a Shinichi Mochizuki. Fuente.

La conjetura ABC pasa por ser el problema más importante de teoría de números que sigue sin resolverse. Podríamos enunciarlo de la siguiente forma:

Conjetura ABC: Para cada \varepsilon > 0 existe una constante K_\varepsilon tal que para toda terna a,b,c de primos relativos tales que a+b = c se tiene c < K_\varepsilon rad(abc)^{1+\varepsilon}.

En este artículo no voy a extenderme más en la explicación de la propia conjetura, ya que nuestro gran colaborador y comentarista vengoroso nos habló de ella este artículo que publicamos el mismo año 2012. En él, además, se da una demostración del Último Teorema de Fermat a partir de ella.

Y esto enlaza con una de las principales cuestiones por las que la conjetura ABC es tan importante. Además de la importancia que tiene en sí misma, hay unos cuantos resultados matemáticos importantes que se deducen a partir de ella si la consideramos cierta, por lo que si se demostrara su veracidad automáticamente se tendría la veracidad de ellos. Además del propio UTF, que ya está demostrado, serían ciertas la conjetura de Erdős-Woods o la conjetura de Fermat-Catalan, además de ayudar con la demostración de la conjetura de Beal. En Abc conjecture tenéis más información al respecto.

Bueno, vamos a meternos en materia. La supuesta demostración que publicó Mochizuki (que podéis ver en su web en varios papers bajo el título Inter-universal Teichmuller Theory) tenía, principalmente, el siguiente problema: se basaba en matemáticas nuevas creadas por él mismo, lo que convertía a la demostración en altamente complicada. Incluso los expertos en el tema tenían tremendas dificultades para revisarla.

Y por otro lado estaba el hermetismo del propio Mochizuki. Apenas salía de Japón para explicar su demostración y, por lo que parece, tampoco tenía mucho interés en colaborar desde allí con otros matemáticos para aclararla y poder hacerla algo más accesible para su revisión. Por ello, ninguna publicación especializada se atrevía a publicarla y, por tanto, la veracidad de la misma seguía en entredicho. Pero bueno, hasta ahora nadie había sido capaz de encontrar algún error…

…repito, hasta ahora. Como decíamos al principio, Peter Scholze y Jakob Stix han encontrado un problema en la demostración que, después de varios meses, no ha encontrado solución por parte de Mochizuki. La cuestión radica en un colorario del tercer paper, concretamente el 3.12, crucial para la veracidad y consistencia del trabajo completo. Para Mochizuki, la demostración de este corolario es “trivial” (todo lo trivial que puede ser una demostración de 9 páginas…), pero Scholze y Stix han encontrado en ella una simplificación que no se deduce de resultados o trabajos anteriores. Esto invalida la demostración de dicho corolario, y con ello la demostración completa de Mochizuki. Si queréis más detalles sobre esto, podéis ver el propio trabajo de Scholze y Stix: Why abc is still a conjecture. También os recomiendo leer Adiós a la demostración de Mochizuki de la conjetura abc, del gran Francis Villatoro, y los enlaces que se incluyen en dicho artículo.

A más de uno seguro que le suena familiar este tema, ¿verdad? Evidentemente, me refiero al caso de Michael Atiyah y la supuesta demostración de la Hipótesis de Riemann (aquí tenéis el anuncio que hice sobre la misma y aquí el artículo que escribí posteriormente sobre ello). Ambas cuestiones pueden parecerse, pero yo las veo distintas. En el caso de Mochizuki y la conjetura ABC, había una supuesta demostración en la cual se ha encontrado un paso que no está totalmente justificado, y que Mochizuki no ha solucionado (al menos por ahora). En el caso de Atiyah, se puede decir que no hay demostración. Francis también escribió un artículo sobre esta “no demostración” que me pareció muy interesante, tanto por su contenido como por la forma en la que está redactado. Un artículo muy recomendable.

Para terminar, remarco la idea central de este artículo: la conjetura ABC sigue siendo una conjetura. El trabajo de Mochizuki no es válido mientras la demostración de ese corolario no sea debidamente justificada. Y, a día de hoy, no es así. Se acabó esta historia de la demostración de Mochizuki, pero continúa la de la propia conjetura ABC. Seguiremos informando.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

5 Comentarios

  1. Yo estoy trabajando con esta definición, díganme si es correcta:

    Para todo entero positivo real ε, existe una cantidad finita de tripletas (a, b, c) enteros y coprimos entre sí, con: c = a +b,
    tal que:

    {\displaystyle c<K_{\varepsilon }\cdot \operatorname {rad} (abc)^{1+\varepsilon }.}

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  2. Del comentario anterior, no me salió bien la fórmula, perdón.
    Tal que:

    $c<;t;\operatorname{rad}(abc)^{1+\varepsilon}$

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