Hace un tiempo me encontré con este teorema que me gustó por la forma de enunciarlo que tiene. Ahí va:
Supongamos que tenemos una loncha de jamón york, una loncha de queso y dos rebanadas de pan de molde. Entonces existe una manera de dividir todos los ingredientes en dos partes exactamente iguales con sólo un corte de cuchillo, independientemente de dónde coloquemos cada uno de ellos (las rebanadas de pan de molde van juntas).
Matemáticamente esto dice que si tenemos 3 cuerpos con volumen positivo existe un plano que los divide en dos partes exactamente iguales.
Hasta hay generalización a dimensión N: si tenemos N cuerpos con volumen positivo en un espacio N-dimensional existe un hiperplano1 que los divide a todos en dos partes exactamente iguales.
Hay demostraciones de este hecho, pero por desgracia no parece que haya ninguna constructiva, es decir, ninguna nos da la manera de calcular cuál es ese hiperplano. Una pena la verdad.
Fuentes:
1: Un hiperplano de un espacio de dimensión N es un subespacio suyo de dimensión N – 1
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Acabo de tropezar con este blog (felicidades) y estoy repasando ávidamente los posts antiguos. Creo que he dado con una forma fácil (¿?) de demostrar esto del sandwich a partir de la palabreja “centro de gravedad” que aparece en wikipedia. Es más fácil verlo primero en 2D: serían dos polígonos cortados por una línea que los dividiría en dos mitades ¿es posible? Un polígono (cóncavo, convexo o inconexo, da igual, pero es más fácil si lo pensamos con círculos por ejemplo) tiene un centro de gravedad que precisamente lo es porque cualquier línea recta que pasa por él lo divide… Lee más »
Pues la verdad es que sería una forma original de comenzar una conversación con una chica
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Sí, tienes razón, me salté a la torera la definción. Pues me imagino el tetraedro alimenticio, pero sin una de sus caras….ummm….aún tiene miga la cosa.
Con esta movida, fijo que pillo a la noche xD
Lo vuelvo a decir: no son 4 cuerpos los que coloco, las dos rebanadas de pan van juntas, es decir, forman un cuerpo entre las dos. Es decir, tengo tres cuerpos: el jamón, el queso y el pan.
A ver si lo he pillado: la versión simple del teorema este, es cuando me hago un sandwich (cuerpos apilados uno encima de otro), y lo corto en diagonal. Cada ingrediente se divide en dos triangulitos iguales.
Si en cambio, pues cojo uno, lo pongo en el plano XY , otro en el YZ, otro en el XZ, y el cuarto inclinado entre estos tres planos, formando un tetraedro…umm…ese plano que los corta tiene mucha tela; y no digamos los cachos que se deben obtener.
Joer, me acabo de dar cuenta de que soy idiota, ya he comprendido el teorema, mi fallo radicaba en que pensaba en un plano como si fuera otro cuerpo finito y no en algo que se alarga hasta el infinito. :S
A ver, contesto las dudas: neok: Los cuerpos no tienen por qué estar tocándose, pueden estar totalmente separados. homero: El teorema que comentas efectivamente es el teorema del sandwich. Este que yo comento en el post es otro teorema, no tienen nada que ver cumic: Interesante razonamiento el de los ingredientes simétricos, pero no creo que sirva para el caso general, ya que aunque en teoría los ingredientes deben ser perfectamente simétricos como tú comentas no tienen por qué estar colocados de manera simétrica. Es decir, la loncha de jamón tiene la forma perfectamente simétrica pero puede estar doblada de… Lee más »
No sé, o no lo entiendo bien o sigo pensando que los cuerpos deben estar en unas posiciones específicas, ya que si uno está en (x,y,z), otro en (x,y,z+2) y el tercero en (x+2,y,z+1), es decir uno está más alto que los otros y otro está más hacia el “fondo” y un poco más arriba que el primero, entonces ¿qué plano corta a dichos cuerpos? cumic lo del antispam es una mierda en blogsome, y sale cuando le apetece, creo que cuando llevas unos cuantos comentarios desde un ordenador ya no te sale en dicho ordenador, y tambien creo que… Lee más »
neok: Como se lee en mi anterior comentario, no hace falta. Aunque al leerlo me he quedado pensando en que no son 3 cuerpos, sino 4, ya que las rebanadas son dobles… De cualquier forma, asumo que son 3
PD: ¿No existe una opción de quitar el antispam para los que ya hayan comentado?
Mmm, ahora mismo se me ocurre que, si las lonchas de jamón y queso y las rebanadas de pan son perfectamente simétricas (es decir, que son cuadrados o rectángulos, en 3D serían cubos o “cajas planas”), todos los planos que cortan a cada cuerpo en 2 partes iguales pasan por centro exacto del cuerpo. Así, para saber el plano que corta a los tres, simplemente debemos calcular el plano que pasa por los tres puntos. Como sabéis, en función de la distribución de los puntos podemos tener una solución (los 3 vectores que los definen son linealmente independientes) o infitas… Lee más »
Yo conocía como teorema del sandwich a el que dice que si una función esta acotada superiormente por una función, e inferiormente por otra, y que ambas funciones-cota poseen el mismo límite, entonces la función acotada también tiene ese límite…
¿Ehhhh? Una pregunta, ¿los cuerpos deben estar tocandose?
Es decir, el sandwich debería estar bien formado, con sus lonchas de queso y jamón “dentro” de las rebanadas de pan.
Lástima, ya estaba yo pensando en mis hiperbocadillos perfectamente cortados por la mitad…