Imaginemos la siguiente situación: tenemos una cuerda de 1 metro de longitud y un gusanito de 1 centímetro en uno de los extremos. El gusanito avanza 1 centímetro por segundo, y cada vez que avanza 1 centímetro la cuerda aumenta su tamaño 1 metro, arrastrando al gusanito 1 centímetro hacia adelante cada vez que aumenta. Algo como lo que muestra esta imagen:

¿Alcanzará alguna vez el gusanito el final de la cuerda? ¿Sí? ¿No? Sea cual sea la respuesta, ¿por qué?

Solución:

En los comentarios se ha dicho de todo: que sí lo alcanzará, que no lo alcanzará… La realidad es que, aunque atente contra la intuición, sí alcanza el final de la cuerda. ¿Por qué?. Muy sencillo:

Vamos a considerar cada instante de tiempo como el momento en el que el gusanito se mueve. Así, en el instante t = 1 el gusanito ha recorrido 2 cm de los 100 que tiene la cuerda, es decir, 2/100 del total del camino.
El instante t = 2 el gusanito ha recorrido 2 cm de los 200 de los que se compone la cuerda en ese momento, es decir, 2/200 del total del camino a recorrer.
En t = 3 son 2 cm de los 300 totales, es decir, 2/300. Así sucesivamente.
Si sumamos todas esas cantidades obtenemos lo siguiente (sea D la distancia fracción de cuerda recorrida):

Sacando factor común:

Y colocando la parte entre paréntesis en forma de suma:

Es decir, la distancia fracción de cuerda recorrida por el gusanito es un múltiplo de la serie armónica de exponente p = 1. Y lo que sabemos es que esta serie diverge, es decir, su límite es infinito. Por tanto el gusanito recorre una distancia infinita, matemáticamente la misma que la cuerda. El hecho de que la serie tenga una divergencia muy lenta y que sea complicado asumir el hecho de que el tiempo es infinito en este caso pueden hacer que la intuición nos traicione. Pero sí, matemáticamente el gusanito alzanca el final de la cuerda.

Espero que os guste y convenza la explicación.

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