Os dejo hoy el problema de esta semana, que en este caso no es muy difícil. Ahí va el enunciado:
Sea
un cuadrilátero cóncavo tal que
. Demostrar que
.
Suerte.
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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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Con un dibujo se ve fácilmente. La figura tiene la forma de punta de flecha. Las prolongaciones de los lados que hacen cóncavo el polígono forman ángulos rectos con los lados, de hecho forman triángulos (dos) rectángulos isósceles. Los cuatro triángulos formados por las líneas del problema, un lado y la prolongación de que hablaba son iguales dos a dos. Ya digo que con el dibujo se ve bien, pero no dispongo de almacenamiento en web para ponerlo aquí. La clave está en lo que he comentado, que hay una gran regularidad en la figura con cuatro triángulos rectángulos isósceles… Lee más »
Información Bitacoras.com…
Valora en Bitacoras.com: Os dejo hoy el problema de esta semana, que en este caso no es muy difícil. Ahí va el enunciado: Sea un cuadrilátero cóncavo tal que . Demostrar que . Suerte. Entra en Gaussianos si quieres hacer algún comentario sobre e……
Como la suma de los ángulos internos de
ha de ser 
, el ángulo 
. Por tanto, si se prolonga el lado 
, cortará en el punto 
del lado 
.
Ahora bien, como los ángulos
45, el triángulo 
es isósceles y rectángulo. Por tanto, el ángulo interior 
del triángulo también 
vale 45. Así, el triágulo 
es también isósceles y rectángulo, con 
. Como los triángulos 
y 
son rectángulos con dos lados iguales, a saber, 
y 
, entonces son iguales. Por lo tanto, el tercer lado también es igual, es decir 
. CQD.
Si dibujamos el problema obtenemos un resultado idéntico al que se nos propone en wikipedia para explicar el ortocentro: http://es.wikipedia.org/wiki/Ortocentro Si unimos Y y T obtenemos un triángulo XYT cuyo ortocentro es Z. Si dibujamos las tres alturas del triángulo y denominamos W al punto intersección entre las rectas YZ y XT apreciamos claramente dos triángulos idénticos XWZ y WYT cuyas hipotenusas son XZ e YT respectivamente. Por lo tanto XZ = YT. Lo he resuelto por métodos gráficos, pero quien busque una explicación mas teórica puede hallarla de forma sencilla aplicando el teorema del seno en los triángulos XWY… Lee más »