Vamos con el problema de esta semana. Ahí va:
Demostrar que para todo entero positivo
, existe otro entero positivo que tiene las siguientes propiedades:
- Tiene exactamente
- Ninguno de sus dígitos es 0.
- Es divisible por la suma de sus dígitos.
Que se os dé bien.
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Valora en Bitacoras.com: Vamos con el problema de esta semana. Ahí va: Demostrar que para todo entero positivo , existe otro entero positivo que tiene las siguientes propiedades: Tiene exactamente dígitos. Ninguno de sus dígitos es 0. Es divisible…
Sí. Confío en no equivocarme: para todo entero positivo
, baste considerar el número 111…111 (n veces el dígito 1). Este número cumple las condiciones trivialmente. Más formalmente:
Conforme a las condiciones del enunciado, se tendrá
con 
y 
.
Ahora bien, ya que todos los dígitos son no nulos,
con lo que 
. La única forma de que se dé, por tanto, la relación de divisibilidad es que 
. Habiendo 
dígitos, esto fuerza a que 
.
Un saludo.
(Te edito para arreglarte el código
.)
No sé si he entendido el enunciado. 11, el número de dos cifras propuesto, tendría que ser divisible por 2, 1111 por 4, etc. ¿no?
Sí, has entendido bien. Y ésa es una razón por la que el razonamiento de Lufcu no es correcto, o al menos no es completo.
Lufcu, según tu razonamiento, para
elegiríamos el número 11, pero resulta que 11 no es divisible entre 2, y por tanto incumpliría la tercera condición.
Me he dado cuenta después con el comentario de Mestrillo, entendí mal el enunciado. Ya decía yo que era demasiado fácil lo que me había planteado. Atacaré ahora el de verdad.
Un saludo.
Pondré sólo un ejemplo para que otros más listos que yo puedan generalizar. Supongamos $n=18$. Busco el primer número $S=9\cdot 2^p$ tal que $n<S$, en este caso $S=9\cdot 2^2=36$. Ésta será la suma de las cifras del número, $m$, que busco. El número $m$ lo construyo ajustando la cifras de las unidades, decenas, etc., las que necesite, para que $m$ se divida entre 4. El resto de cifras lo ajusto para que sumen 36 entre todas. ¿Se puede hacer siempre? El resultado es $m=111111111111111696$ (con quince 1's). Como 4 divide a $m$ (por el arreglo de las últimas cifras) y… Lee más »
Lo primero que se me ocurre es pensar en subconjuntos de numeros naturales como por ejemplo el conjunto de numeros enteros positivos que tienen 1 digito, 2 digitos… n digitos con n > 0, y hay que averiguar si existen aplicaciones de un conjunto que cumplan las 3 condiciones. Por definicion de los conjuntos sabemos que los numeros son todos enteros positivos y como son aplicaciones sobre conjuntos de n digitos los dos numeros enteros positivos van a tener los mismos n digitos. Dejo la última condición para más adelante.
Perdón, he entendido mal el enunciado. La noche me confunde.
Voy a dar un esquema de una prueba que funciona bastante bien, pero que hace aguas en un sitio. Creo que puede ser útil para subsanar el agujero o crear nuevas ideas partiendo de ella. Consideremos el número y supongamos que tiene dígitos. Es evidente que divide a siempre que . Sea el menor múltiplo de que es mayor o igual que . Sea , es decir ir haciendo copias del número y pegarlas hasta llegar a al menos dígitos. Es también evidente que cualquier número de la forma que verifique que (donde es la suma de los dígitos de… Lee más »
Las fórmulas que no aparecen son por orden:
1) t=2^n+2^n \cdot 10^k + … + 2^n \cdot 10^{j-k} (concatenar j/k veces 2^n obteniendo un número de j dígitos)
2) a_s \cdot 10^s + … + a_j \cdot 10^j + t (sumarle a la concatenación un cierto número con j ceros al final)
3) a_s + … + a_t + b \cdot \frac{j}{k} (sumar los dígitos del anterior número).
Tenemos un entero positivo n. Queremos demostrar que existe x con n dígitos distintos de 0 que suman m y que cumple que m divide a x. Vamos a demostrar que para m=3^k, existe siempre algún valor de x cuando n varía desde 3^(k-1)+1 hasta 3^k. Por ejemplo, para n entre 10 y 27 se puede encontrar un número de n cifras distintas de 0 que sea divisible entre 27. Construimos x para los dos casos siguientes: 1) Si n=3^k, x es un repunit de n unos: 111…111. 2) En los demás casos construimos un número y de modo que… Lee más »
Para demostrar que los restos de dividir los primeros 3^(k-2) repunits entre 3^(k-2) son diferentes multiplicamos ambos términos por 3^2. Los repunits se convierten en números del tipo 999…999 que podemos generalizar como potencias 10^i-1. Sumando 1 tenemos las 3^(k-2) primeras potencias de 10, empezando por 1. Si dividimos 1 entre 3^k vamos a obtener el número de restos diferentes que tiene esa operación. Dicho número de restos será el mismo que se obtiene al dividir las 3^(k-2) primeras potencias de 10 entre 3^k, y por tanto la división de los 3^(k-2) primeros repunits entre 3^(k-2). Si ese número de… Lee más »
Mmonchi en este y en el anterior comentario no se entiende nada, además, ¿cómo vas a obtener DIFERENTES restos dividiendo 1 entre 3^k si este resto es 1 y solo este 1? Igualmente un repunit de 3^(k-2) dígitos, dividido precisamente entre 3^(k-2) no da restos distintos, de hecho es una división exacta de cociente 1 y de resto 0.
La afirmación es falsa. He aquí un contraejemplo
n = tres
m = 111 (o sea, siete, única solución en base dos)
la suma de cifras es tres, y tres no divide a siete.
Shevek, en el enunciado no se habla para nada de base 2. De hecho, para
el número 11 es perfectamente válido, cumple las condiciones del enunciado: tiene 3 dígitos, ninguno es 0 y es divisible entre la suma de sus cifras.
Ok. No había leído bien las condiciones del problema.
Pero lo que sí que he leído bien es que no se especifica la base en la que hay que construir el número.
Se supone que el enunciado se ha de cumplir en cualquier base ¿no?
Fandral, voy a intentar explicar lo que hago con ejemplos. Primero agrupo los valores de n en grupos: {1}, {2,3}, {4,5,…,9}, {10,11,…,27}, {28,29,…,81}, etc. Cada grupo termina en una potencia de 3 y todos los n de un grupo van a generar un número de n cifras que se pueda dividir entre el último y no tenga ceros. Por ejemplo, tomamos un número del grupo {10,11,…,27}, digamos el 14. Generamos un número de 14 dígitos que sumen 26 (27-1) y no tenga ceros ni nueves, el más bajo es 11111111111168. Como el divisor es 27, tengo que probar 27/9=3 números.… Lee más »
Captado, Mmonchi!
Muy buena la prueba de Mmonchi, aunque falte completarla. Lo que queda por ver es que orden(10,3ⁿ⁺²)=3ⁿ, para n > 1. Es decir, que la mínima potencia de 10 que da resto 1 al dividirla por 3ⁿ⁺² es 3ⁿ. Esto es cierto al menos hasta n = 300 y no debería ser difícil de probar. A ver si más tarde me sale.
Hola! Yo lo planteé de otra manera también: Demostrar que para todo entero positivo m, compuesto por n dígitos distintos de cero, existe al menos un entero positivo p, tal que m es igual a p multiplicado por la sumatoria de los n dígitos. A partir de ahí tengo que el valor de la sumatoria siempre varía entre n y 9n (obviamente), por lo que existen 8n+1 números consecutivos que multiplicados por p dan como resultado un m, compuesto por n dígitos distintos de cero. siendo que p es prácticamente un número que cuanto más grande n, más variantes suma,… Lee más »
La verdad es que me da vergüenza participar en este blog porque mi nivel dista mucho de lo que veo, pero este caso lo tengo planteado de otro modo que comentáís. Os pongo el ejemplo de cómo veo los impares. Ni impares (1-3-5-7….) Tomamos siempre la secuencia de referencia “todo cincos” que sumarán , 5,15,25… y además serían los casos más frecuentes. Obviamos el caso 1 Caso n=3; No es muy difícil observar que podemos ir obteniendo la secuencia 195/285/375…. todos con diferencia 90. En este caso no problema porque todos son mútiplos de 3 y 5. Caso n=5; idem… Lee más »
En el caso n=11 se suma 999990, la serie es 11111999995, 11112999985, …, 11118999925, 11119999915 y 11120999905. Como tiene ceros no podemos garantizar la solución.
Ya he anticipado que si coincide con un cero, en la siguiente tanda de 11 no va a coincidir otra vez con el cero, luego entra en el caso.
Todos suman 55.
11111999995
11112999985
11113999975
11114999965
11115999955
11116999945
11117999935
11118999925
11119999915
11120999905
11121999895
11122999885
11123999875
11124999865
11125999855
11126999845
11127999835
11128999825
11129999815
11130999805
11131999795
11132999785
11133999775
11134999765
11135999755
11136999745
11137999735
11138999725
11139999715
11140999705
11141999695
11142999685
11143999675
….
Para los pares barajo series parecidas con dos cuatros fijos que suman ( a partir de 4 elementos)
18-28-38… cuyas sucesiones también siguen la pauta 9990 en este caso. En este caso al ser todos multiplos de 2, cada 19 tendremos una, y si da en cero, en la siguiente tanda es obligada.
41119994
41129984
41139974
41149964
41159954
41169944
41179934
41189924
41199914
41209904
41219894
41229884
41239874
Me parece que en cualquier n dígitos, debe verse que sea múltiplo de n.
Si n es un digito, omitamos el caso en el que n=a, y sea el caso de que n|a entonces a es múltiplo de n…
Si n es de más de un dígito debería cumplirse que la suma sea múltiplo de n, ¿no es así? Creo que esa es la idea.
Intente algo de este problema, se veía sencillo pero no es tan sencillo. Con la simple regla de los multiplos de 2,3,5,7 pude conseguir hasta n=10, los cual los muestro aquí.
n=1 es evidente
n=2 $ \Longrightarrow $ 12=(1+2)*4
n=3 $ \Longrightarrow $ 135 = (1+3+5) *15
n=4 $ \Longrightarrow $ 1215= (1+2+5+9) * 135
n=5 $ \Longrightarrow $ 42315 = (4+2+3+1+5)*2821
n=6 $ \Longrightarrow $ 132225 =(1+3+2+2+2+5)*8815
n=7 $ \Longrightarrow $ 1222215 = (1+2+2+2+2+1+4)*81481
n=8 $ \Longrightarrow $ 25395335=(2+5+3+9+5+3+3+5)*725581
n=9 $ \Longrightarrow $ 111111111= (1+1+1+1+1+1+1+1+1)*1235679
n=10 $ \Longrightarrow $ 1342222225 = (1+3+4+2+2+2+2+2+2+5)* 53688889