Vamos con el problema de la semana. Ahí va:
Dados los números primos escritos en orden
encuentra todas las parejas de números enteros positovos
, con
, tales que
divide al número
.
Que se os dé bien.
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En principio todos los primos, excepto el 2,parecen poder formar parte de una pareja que cumpla las condiciones del problema. Con todos los menores que 100 ocurre así. No encuentro ninguna regularidad que me permita fijar una regla o fórmula para obtener todas las parejas posibles.
Hola
Quería comentar nada más que este fue uno de los problemas de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas. El 2, si no me equivoco.
Saludos.
Pues o yo no he entendido bien el enunciado (lo cual es posible porque no he tenido mucho tiempo para planteármelo), o sólo la pareja a=4, b=2 (Pa=7, Pb=3) es solución.
Al menos de entre los primeros 1000 enteros positivos que he podido comprobar a ‘fuerza bruta’.
elchen, solo con el 7 se encuentran muchas más parejas: (a=17, p=59), (a=19 p=67), (a=20, p=71) (a=22, p=83), (a=23, p=89), (a=1032, p=8231), (a=1036 p=8263) (a=1239, p=8387). Todas ellas con b=4, p=7 cumplen la condición del enunciado.
Para cualquier primo que he probado aparecen varias parejas satisfactorias, excepto para el 2 ya que la diferencia p(a)-p(b) es siempre impar y no puede ser divisible por 2(a-b).
Sería interesante poder demostrar que
1) Cualquier primo distinto de 2 siempre podemos encontrar alguna pareja que satisfaga.
2) El número de posibles parejas de cada primo satisfactorias ¿está acotado o es infinito?
Me da que lo has entendido al revés, JJGJJG, el divisor debe ser Pa – Pb.
JJGJJG, me parece que estás haciendo la división al revés.
Con la hipótesis de tener tres primos consecutivos (su diferencia es dos) se cumplen las condiciones del enunciado. 2((b + 4) – b) = 8; p(b + 2) – p(b) = 4
No tengo ni idea si esos son todos los casos que cumplen. Creo que no hay más ternas que la del 3, 5, 7
Para valores de a>4 se cumple que Pa-Pb>=2(a-b), pues los primos crecen al menos en dos unidades por cada una en que crece su número de orden. El a>4 se debe a que la diferencia entre 2 y 3 (los dos primeros primos) es uno e incumple la regla anterior en los primeros casos. Supongamos que tenemos dos valores de a y b tales que Pa-Pb>2(a-b), es decir, 1>2(a-b)/(Pa-Pb). Para cualquier valor n>4 se cumple que (Pn-Pb)>2(n-b), pues (Pn-Pa)+(Pa-Pb)>2(n-a)+2(a-b). Basta con comprobar los valores de a y b que cumplen (a-b)/(Pa-Pb)>=1, sabiendo que si para un valor de a no… Lee más »
Lo que dice JJGJJG es cierto con el enunciado al revés. Atendiendo al enunciado expuesto se puede demostrar que solamente se cumple para un único caso (b=2, a=4,pb=3,pa=5). Vamos a fijar el valor b y ver lo que ocurre con la condición para la secuencia de valores de a≥b+2. Hay que hacer notar que sea cual sea el valor de b, lo números de la forma 2(a-b) siguen siempre la progresión aritmética 4,6,8,10,12,… – Fijando b=1, pb=2: tenemos la secuencia de diferencias (pa-pb) de la forma (5-2),(7-2),(11-2),…=3,5,9,… Para los dos primeros valores (3 y 5) vemos que no dividen a… Lee más »
Primera observación: la diferencia Pa – Pb debe ser par, luego Pb no puede ser nunca el 2. (y Pa tampoco, claro). Así que ni a ni b son 1.
Luego sigo buscando casos que lo cumplan empezando por el caso más simple. La menor diferencia par es 2
Pa – Pb = 2 implicaría primos gemelos… los cuales cumplen a – b = 1 (no hay ningún primo entre ellos) y, por tanto, cumplen la igualdad.
Perdón, olvide´la condición a-b mayor o igual que 2 así que sólo se cumple para a=4, b=2 Si no, serían los gemelos y (4, 2) que es lo que había escrito a continuación: Se pide el conjunto de parejas (a, b) … pues en el caso de primos gemelos no se me ocurre otra forma mejor de describir esas parejas como { (a, b) tales que Pa – Pb =2 } o bien, { (b+1, b) tal que P_(b+1) – Pb = 2 } Pero los primos gemelos no son los únicos. Sea: (4, 2). a=4 , b = 2… Lee más »
Algunos resultados experimentales con Pari gp cuando (pa-pb)/2(a-b) es primo :
c=4000;for(b=2,c,for(a=b+2,c,d=prime(a)-prime(b);e=2*(a-b);if(d/e==d\e&d/e==19,print([a,b,prime(a),prime(b),d,e,d/e]))))
[10, 6, 29, 13, 16, 8, 2]
[17, 15, 59, 47, 12, 4, 3]
[68, 66, 337, 317, 20, 4, 5]
[190, 188, 1151, 1123, 28, 4, 7]
[369, 367, 2521, 2477, 44, 4, 11]
[1987, 1985, 17291, 17239, 52, 4, 13]
[3794, 3792, 35671, 35603, 68, 4, 17]
[3386, 3384, 31469, 31393, 76, 4, 19]
Noobstante sería mejor considerar más bien (pa-pb)/(a-b)
He aquí una sucesión inspirada de tu problema : 5, 11, 29, 97, 641, 1373, 2591, 4327, 8009, 19661, 36451, 134581, 38543, 172969, 212777, 268403 Cuya definición es: a (n) es el menor número primo (i-ésimo primo) p tal que existe otro número primo menor (j-ésimo primo) q y (p – q) / (i – j) es el enésimo primo. Ejemplo: a(3) = 29 es el menor número primo y décimo primo, tal que existe un primo menor: 19 que es el octavo número primo y tal que (29 – 19) / (10 – 8 ) = 5 es el… Lee más »
sopadeajo,
dices en la «Nota» que todos los «(i-j)» son iguales a 2, excepto para a(1) y a(6)…
¿puedes demostrarlo? ¿o sólo es una observación de lo que ha ocurrido con algunos casos?
No, no puedio demostrarlo, sólo constatarlo experimentalmente. De hecho, a falta de haberlo estudiado algo más, porque está recién salido del horno, me parece ilógico, no entiendo bien porqué aún, los mínimos se sitúan mayoritariamente en (i-j) = 2. Será quizás una cuestión de lo que es el «gap» (distancia) medio/a entre primos sucesivos, en un intérvalo determinado. Lo que sí está claro, es que puesto que los «gaps» entre primos consecutivos o no, son siempre pares, (i -j) debe de ser par también para poder obtener en el cociente los números primos que queremos obtener.
Acido, Aquí va el programita, con una búsqueda exhaustiva hasta los 5000 primeros primos para el caso a(6) = 13. Recuerdo que Pari gp es totalmente gratuito y se descarga en menos de 1 minuto. Basta con teclear pari gp en Google. Y está relativamente (relativamente solo) bien documentado. c=1000;for(b=2,c,forstep(a=b+2,c,2,d=prime(a)-prime(b);e=(a-b);if(d/e==d\e&d/e==13,print([a,b,prime(a),prime(b),d,e,d/e])))) [220, 216, 1373, 1321, 52, 4, 13] [222, 216, 1399, 1321, 78, 6, 13] [222, 220, 1399, 1373, 26, 2, 13] [261, 259, 1663, 1637, 26, 2, 13] [264, 262, 1693, 1667, 26, 2, 13] [327, 325, 2179, 2153, 26, 2, 13] [330, 326, 2213, 2161, 52, 4, 13] [379,… Lee más »
Los primos son impares. Dado un par de primos gemelos, es decir de primos cuya diferencia es 2, han de ser 2 mod 3 el menor y 2+2 mod 3 = 1 mod 3 el mayor. No puede haber un tercero mayor que el mayor o menor que el menor porque este sería 1+2 mod 3 o 2-2 mod 3 = 0 mod 3 (divisible por 3) en ambos casos. Luego para a – b = 2 y b>= 3; pa – pb >= 6 no divide a 2 (a-b) = 4. Para a – b = 3 y b>=… Lee más »
Errata en el mensaje de las 18 h 43.
a(6) = 13 No . a(6) = 1373 que corresponde al sexto primo = 13.
a y b indican números en
e índices en 
y 
. Además se pide que 
sea divisor de 
y teniendo en cuenta que los primos en las posiciones a y b serán cada vez mayores, la diferencia de los primos también crecerá más rápido que la diferencia entre los números a y b, esto me lleva a sospechar que no deben ser muchas las parejas 
que cumplan con la condición. La 
es la única que encontré hasta ahora.
Mi conclusión:
P(a)-P(b)>=2(a-b)+2 siempre que a-b>2
Luego, la única respuesta es 7 y 3, cuya diferencia divide a 2(4-2).
¿Cómo pruebo que todo entero distinto de 1 y -1 es divisible por un número primo?
¿Cómo encuentro todos los números que son iguales a un cubo-1?
¿Cómo pruebo que si n>2, existe al menos un primo ‘p’ tal que n<p<n! ?
Desde una perspectiva computacional :
La igualdad en la expresión solo se cumplirá para las triadas . Dado que solo existe una triada , la pareja (4,2) para (a,b) será la única pareja.
La desigualdad creciente del cociente no se puede cumplir nunca dado que los números primos son números enteros y crecen en mayor grado que su numero de orden.