Vamos con el problema semanal, cuyo enunciado a su vez trata de resolver problemas. Ahí va:
Veintiún chicos y veintiún chicas participan en una competición de resolución de problemas matemáticos. Analizando los resultados se observa que cada participante ha resuelto como mucho 6 problemas y también que si tomamos cualquier pareja chico-chica hay al menos un problema que fue resuelto por los dos.
La cuestión consiste en demostrar que hay un problema que fue resuelto por al menos tres chicos y tres chicas.
A por él.
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No soy matemático, asique disculpen los fallos de formalidad, pero creo que sé mas o menos como puede ir el tema: Del comentario «también que si tomamos cualquier pareja chico-chica hay al menos un problema que fue resuelto por los dos» creo que podemos sacar la información de que todos han resuelto como mínimo un problema, por tanto cada uno a resuelto de 1 a 6 problemas y que si encontramos 3 chic@s que hayan resuelto el mismo problema entonces podremos asegurar que hay 3 chic@s que han resuelto el mismo problema. Asique el problema queda reducido a demostrar que… Lee más »
Creo que hay algún fallo en mi razonamiento porque no me casan los números, pero no soy capaz de encontrarlo. Cojamos al primero de los chicos, que habrá resulto x problemas con 1 <= x <= 6. Cogemos también a la primera de las chicas, que sabemos que tiene al menos un problema en común con el chico, y fijamos ese problema. Ahora bien, cualquier chica que cojamos tiene al menos un problema en común con el chico, luego si cogemos otras x chicas tendremos al menos dos que hayan resuelto el problema en cuestión, y si cogemos 2x tendremos… Lee más »
Creo que se dice «veintiunA chicas»
Daniel, tu demostración creo que no es correcta o no la entendí bien. Dices «si encontramos 3 chic@s que hayan resuelto el mismo problema entonces podremos asegurar que hay 3 chic@s que han resuelto el mismo problema.» Pero creo que eso lo afirmas muy precipitadamente sin dar ninguna prueba. Por ejemplo, supongamos que el problema fuesen 4 chicos (A, B, C, D) y 4 chicas (e, f, g, h) … y nos dicen que cada par tiene al menos un problema que han resuelto ambos. A = «0011» = {1, 2} B = «0101» = {1, 4} C = «1010»… Lee más »
Acido, lo que comentas en el último párrafo no es del todo cierto… Si cogemos 7 chicos y 1 chica, dado que la chica ha resuelto como mucho 6 problemas y comparte al menos un problema con cada uno los 7 chicos, tenemos (por el principio del Palomar) que al menos dos chicos habrán resuelto el mismo problema…
Marco,
tú sí que lo has explicado… pero mi crítica a Daniel es que no nombró a las chicas. Dijo que quiere demostrar que al menos 3 chicos han resuelto el mismo problema y nombra el principio del palomar y el número 7 pero no dice por qué. Y luego dice 7 * 3 = 21 y se queda tan ancho xD Es decir, no digo que el principio del palomar no se pueda aplicar… lo que digo es que falta explicar por qué se aplica, como tú lo explicaste.
Buenas Ácido, gracias por corregirme, esta claro que he abordado el problema de una forma precipitada.
_cronos2, hay algo que no entiendo del todo, dices que hay 3 chicos que resuelven el mismo problema que 1 chica y que hay 3 chicas que resuelven el mismo problema que un chico, pero esto implicaría que 3 chicos resolvieran el mismo problema que 3 chicas?
No estoy seguro de que sea correcto pero para empezar trataría determinar el número máximo de preguntas diferentes que puede haber. Para ello supongamos que un alumno (A) responde 6 diferentes. Esto hace que una alumna (B) tenga que coincidir en (como mínimo) una de las preguntas con A lo cual hace que haya como máximo 10 preguntas diferentes. Si seguimos así vemos que a partir de la alumna 6 todas sus preguntas respondidas están condicionas por las preguntas respondidas por los 6 alumnos anteriores. En definitiva tenemos que las preguntas libres máximas haciendo que coincidan el mínimo de respuestas… Lee más »
«(Por ejemplo tres grupos con 6,6,9 alumnos o alumnas. Todos ellos tienen 36 o más respuestas diferentes)» Perdón, quería decir que todos ellos tienen las 36 respuestas diferentes o ya repetidas
Parece claro que, una vez aceptado que solo puede haber 36 problemas distintos como máximo, con 18 alumnos y 18 alumnas ya se cumple que hay al menos uno resueltopor tres de cada sexo.
Un sujeto hizo dos récord en el mismo día, lo cual constituyó un récord, pero ahora tiene tres récords, lo cual a su vez constituye un récord. ¿Cuántos récord en total tiene el sujeto en un mismo día?
No sé si es cosa mía, pero a mí no me parece que esté claro ese límite de 36 respuestas, ni que de ahí se deduzca lo que se pide demostrar.
Me explico mejor, a ver si me he equivocado en algo: Lo que sucede es que, si hubiera más preguntas, podríamos encontrar parejas de alumnos y alumnas que no coincidieran en ninguna pregunta y sin embargo sabemos que eso no sucede. Puede que haya menos, en cuyo caso juego a favor de lo que pretendo demostrar, pero no puede haber más. Para verlo mejor voy a expresar a los chicos como el grupo A y las chicas como el B. Al lado de cada uno, dentro del paréntesis escribo (Número de preguntas que han salido en otros concursantes (Dependientes), número… Lee más »
El número máximo de problemas es 36, una forma de verlo es la siguiente: Sean los chicos A_1,A_2,…,A_21, las chicas B_1,B_2,…B_21 y los problemas P_1,P_2,…, Para establecer el número máximo de problemas supongamos que todos los chicos y chichas han resuelto 6 problemas (el máximo posible). Podemos escoger que los seis primeros chicos A_1,…,A_6 hayan resuelto todos problemas distintos (no podemos suponer esto para 7 o más chicos como expliqué en mi comentario anterior). Entonces: – A_1 ha resuelto los problemas P_1,…P_6 – A_2 ha resuelto los problemas P_7,…P_12 – A_3 ha resuelto los problemas P_13,…P_18 – A_4 ha resuelto… Lee más »
Sobre a cómo de ahí se deduce lo que se pretende demostrar cogeremos el caso más extravagante, el de los A1, B1, A2, B2, A3, B3, que se corresponden con los de la lista anterior. Sumando el número de preguntas diferentes que pueden tener vemos que da 6+5+5+4+4+3=27 y el resto de respuestas (9) serán dependientes. Bien pues en este caso no hay una, sino 27 preguntas que fueron respondidas por al menos 3 A y 3 B. Claro, podría haber menos de seis respuestas por alumno. En ese caso el número máximo de preguntas formuladas sería menor lo que… Lee más »
Si lo que decís es simplemente esto: – No puede haber más de 36 problemas y que se cumpla que todas las parejas chico-chica han resuelto alguno en común. Eso claramente no es así. Por ejemplo, puede pasar que todos (chicos y chicas) hayan resuelto el problema 1 y luego cada participante haya resuelto 5 problemas más que sólo ha resuelto él. Entonces tenemos 211 problemas distintos. A lo mejor estáis descartando este caso y otros similares por no ser relevantes para el problema, por algún motivo, pero en ese caso deberíais explicarlo. Yo, en las explicaciones que estáis dando,… Lee más »
Golvano, el ejemplo que pones no altera la solución del problema puesto que hay un problema, el 1, ha sido resuelto por tres o más chocos y chicas.
La solución propuesta busca las condiciones más desfavorables para evitar que se de el caso solución.
Si quieres, busca un contraejemplo, con más de 36 problemas, en el que no haya solución.
Toma claro, si nos piden demostrar algo, será cierto. Yo no estoy diciendo que el enunciado esté mal. Lo que estoy diciendo es que la demostración que estáis dando no es válida. Es como si yo propongo la solución: «como dos y dos son cuatro, y cuatro y dos son seis, entonces queda demostrado» y cuando me decís que no es válida os digo: pues buscadme un contraejemplo. Si estáis descartando el resto de casos, porque son más desfavorables, tendréis que decir por qué. Así sin más, no queda claro que lo sean, teniendo en cuenta que hay más problemas… Lee más »
Dejando de lado la cantidad de problemas, puesto que para cada pareja chico-chica hay al menos un problema resuelto por los dos, planteo lo siguiente: Total de parejas chico-chica: 21 x 21 = 441 Cada chica tiene 21 «compañeros», que debe distribuir en 6 problemas como máximo. Luego entonces, por lo menos 11 de esos compañeros están agrupados en «colecciones» de tres o más, es decir: 5 problemas de 2 chicos: 5 x 2 = 10; 21-10= 11 chicos. Para otras distribuciones habrá mas grupos de 3 o más chicos y por ende más de 11 chicos agrupados en «colecciones»… Lee más »
Eso sí. Además, ahora se entiende de dónde sale el 21.
Muy bien Elchen, esa es la respuesta. En efecto, el problema debe verse en una tabla de 21 * 21, Tomamos a un chico en una fila y vamos señalando casillas de dos modos. (+) si coincide con tres o más chicas y (-) si ocurre lo contrario. A cada chica le haremos lo mismo, en columnas. Se trata en definitiva de encontrar al menos una casilla con dos signos (+). Ahí entra en juego el comentario de Elchen. En el peor de los casos, al menos 11 individuos quedan en grupos de 3 ó más (signos +), y eso… Lee más »
n chicos y n chicas participan en una competición de resolución de problemas matemáticos. Analizando los resultados se observa que cada participante ha resuelto como mucho p problemas y también que si tomamos cualquier pareja chico-chica hay al menos un problema que fue resuelto por los dos.
Se cumple siempre que n sea igual o mayor que 4*p-3.