Hoy os traigo el juego 1 = -1. Ya vimos en este post hace un par de días algunas cosas sobre números complejos. En particular vimos que i, la unidad imaginaria, cumple que 
Evidentemente hay algo mal en este planteamiento, ya que 1 no es igual que -1. Pero, ¿en qué paso del razonamiento se encuentra el error? ¿Por qué?
Solución:
Efecto Mariposa ya puso un enlace a la explicación en uno de los comentarios. Y esa misma es la explicación que yo iba a dar. Vamos con ella:
Para cualquier número complejo se define su argumento como el ángulo que forma el vector asociado a ese número complejo con el eje X. Si ese argumento está entre -π y π a ese argumento se le llama argumento principal del número complejo.
Por otra parte cada número complejo tiene 2 raíces cuadradas, 3 raíces, cúbicas, 4 raíces cuartas, etc. Una de ellas se denomina rama principal de la raíz. Pues esa misma es la que hay que tomar en este caso.
La raíz de ese producto se puede separar en ese producto de raíces siempre que la suma de los argumentos de los dos números complejos esté entre -π y π. En este caso tendríamos π + π = 2π, que se sale de ese rango. Por tanto deberíamos haber cogido para uno de los -1 la raíz cuadrada -i, que tiene como argumento -π. En este caso la suma de los argumentos sería π + (-π) = 0, que sí está en ese rango.
En este enlace podéis ver la explicación completa.
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Alfonso sí, el error está en ese paso, y la razón va en la línea de lo que ha comentado xhaju justo después de tu último comentario. La clave está en el argumento. Mañana con más tiempo actualizo el post y lo explico.
Paco cuando explique mañana el tema verás como la operación que has hecho tampoco podría hacerse.
El fallo está en que la raíz de un producto no es el producto de las raíces. Yo tengo una redefinición de los complejos en los cuales la raíz, el logaritmo, etc si son funciones. En mi definición de los complejos, las superficies de Riemann no tienen sentido.
Tengo una duda de que no se puede separar sqrt(-2 · -3) segun las propiedades esto se puede escribir como sqrt (-(2x(-3)) = i sqrt (2x(-3)) = i x sqrt (-(3×2)) ixi sqrt (2×3) = ixi sqrt(2×3) = ixi (sqrt(2)x sqrt(3)) = i x sqrt(2) x i sqrt(3) = sqrt(-2) x sqrt (-3). Creo que con estas lineas se puede ver que se puede dividir una raiz de numeros negativos. el problema creo que esta en la 3º igualdad y es que cuando separas asi (en dos numeros negativos) un numero positivo y divides en dos las raices la soluciones… Lee más »
Pienso que el fallo está en el argumento del numero complejo. En principio, la determinacion principal es de [0,2pi), con especial hincapié en el “)”, de tal modo que al descomponer el numero 1 en (-1)(-1) estamos haciendo exp(ip)exp(ip)=exp(i(2p)), pero este valor (2p) no pertenece a la determinación principal, de tal modo que en realidad, esa sqrt(e(i2p))=sqrt(e(i*0))=1.
Creo que es así…pero tampoco estoy en exceso seguro.
Mmmm bueno… dije reales positivos, nada de complejos.
En la Wikipedia podemos encontrar las propiedades de las raíces cuadradas y en efecto viene estipulada la que comenté en mi comentario anterior.
También viene lo que has comentado de las raíces cuadradas en los números imaginarios.
Yo sigo diciendo que el error está en el paso 2-3 (la separación de las raíces) porque no está permitida esa operación (excepto números complejos?).
Un saludo!
Vale, nos vamos acercando. El error está en la tercera igualdad, cuando pasamos de una raíz a dos raíces. El que más se ha acercado a la clave del problema es Alfonso Jiménez, pero el razonamiento no es exacto. Está claro que esa separación se puede hacer cuando los dos números son reales positivos, pero se puede hacer en más casos. Y si no lo creéis pensad lo siguiente: Cuando resolvemos una ecuación polinómica de segundo grado pueden aparecernos raíces cuadradas de números negativos. Si nos interesa saber explícitamente qué números complejos obtenemos separamos el -1 del número real positivo… Lee más »
Buenas. El fallo está en el paso 2-3. sqrt(x*y) = sqrt(x) * sqrt(y) está definida para números positivos, por lo tanto, x e y tiene que pertenecer al conjunto R+ (reales positivos).
Un saludo crack!
PD: ^DiAmOnD^, también sería útil el editor de ecuaciones para los comments
que sucede cuando en un sistema de ecuaciones una de las filas se hace 0, es decir, que tanto la x como la y y la z se hacen 0
i^0 = 1 ; i^1=i ; i^2=-1 y i^3=-i
y i^4 ??? i^3.i= -i.i= 1 o sea, i^4 = i^0
raiz(1)=raiz(i^0)=1 pero raiz(i^4)= i^2= -1. En realidad esto no se puede hacer, ya q la unidad imaginaria trabaja las potencias con congruencias de 4 (por la estructura de los complejos si no me equivo, este tema esta lejos de ser de mis favoritos).
Lo q sucede en el juego es reescribiendolo:
raiz(1)=raiz(i^0)=
=raiz(i^4)= (danger !!)
=raiz(i^2.i^2)=raiz(-1.-1)=… y ese creo q seria el problema.
sqrt[(-1).(-1)]=sqrt[(-1)^2]¿=?[sqrt(-1)]^2,yo digo que el paso de separar el producto esta mal ya que el indice de la raiz es par.
también se puede ver como (k entero):
sqrt(-1)*sqrt(-1)=sqrt(e^(K2pi))*sqrt(e^(K2pi))=
e^(Kpi)*e^(Kpi) pero esto no es e^2Kpi ya que como dije antes e^(Kpi) son dos opciones +1 y -1 y
e^(2Kpi) sólo es una (-1) luego
e^(Kpi)*e^(Kpi) = e^(Kpi)
(+-)1*(+-)1=(+-)1
La raiz de un número complejo z viene a se:
e^[log(z)/2]
Va por aquí la cosa?
Según puedo ver, creo que el problema está en el traspaso de una sola raíz, a dos raíces, debido a que en este caso SI importa el orden con que se opera.
En sqrt(-1*-1) si resolvemos primero lo de adentro nos queda sqrt(1) que es igual 1.
En cambio, con sqrt(-1)*sqrt(-1), ¡cuidado! son raíces imaginarias y y aquí entonces ya empezáramos a tener problemas al hacer operaciones. Al resolver las raíces nos quedaríamos con -1 que no es con lo que empezamos, ergo, no podemos hacer eso.
Bueno, pues raiz(-1) = i y -i (no?)
habría que contemplar las dos opciones y la buena
es cuando raiz(-1)*raiz(-1)=i*(-i)=-(i^2)=1
ricardo en el problema no aparece lo que tú comentas. Lo explico: Claramente 1 es igual a la raíz positiva de 1. Por otro lado 1 = (-1)·(-1), y por tanto sus raíces cuadradas positivas también son iguales. Después separo la raíz de ese producto como el producto de cada una de las raíces (como dije en mi anterior comentario tomo en todos los casos las raíces positivas). Y después usando que raíz de -1 es i expreso ese producto como i·i, que como ya sabemos vale -1. Espero haberme explicado. Repito, el error del razonamiento no está en lo… Lee más »
raiz(1) = +1 y -1
no es valido empezar con una opción
y luego escoger de vuelta la otra
1 = raiz(1) = -1
es decir no se puede igualar una solución a la propia raiz que son dos soluciones. Es como 3 = 0/0 = 8 => 3=8
4=raiz(4)raiz(4)=2*(-2)=-4. Que mal, esta propiedad es falsa, pues en Z la raiz cuadrada no es unica y si tomo la que quiera y sin regla, lo mas probable es que llegue a contradicciones.
No es esa la solución. En todos los miembros donde hay una raíz cuadrada yo he tomado la raíz cuadrada positiva. No va el tema por los valores absolutos. La cosa va por las raíces de un número complejo.
A ver quien lo saca.
hola me puedes decir cual es la respuesta no me sale los link
Efectivamente setantaset dio la solucion valida pues la raiz de 1 es tanto 1 como -1 ,
Raiz cuadrada -> Dos soluciones (que a veces pueden coincidir en la misma)
Eso es, lo que dijo setantaset. El segundo miembro debería estar entre ||, ser en valor absoluto.
Igual es divertida la ecuación.
El tema está en que 1^(1/2) no sólo es 1, sino que también es -1
¿Puede ser que el problema este relacionado con los valores absolutos? Lo tengo en la punta de la lengua (de los dedos , en este caso)pero no lo acabo de ver claro. Supongo que mis tres meses de vacaciones postuniversidad tienen algo que ver …
Si, el asunto esta en que con complejos hay que tener cuidado con los exponentes asi en general la propiedad (x^a)^b=(x^b)^a=x^(a*b) no se cumple siempre en los complejos y en particular eso impide separar las racies tan alegremente. Si pasan todas las operaciones que aparecen en el post a la forma polar Y UTILIZANDO EL ARGUMENTO PRINCIPAL se ve claramente que la igualdad 3 no funciona
Desde el principio….»uno» no es igual a «la raiz de uno» ¬¬
si que es igual, porque 1^2 sorpresa es uno
Sieke tengo ke diferir contigo
1=1^2=1^(1/2)
ya ke
1*1=
1^(1/2)= 1
la propiedad distributiva respecto al producto de la raiz cuadrada;
sqrt(A) * sqrt(B) = sqrt(A*B) A,BeR
vale, si A ó B almenos alguno es >0
si ambos fueran
De donde sacas esa propiedad, tienes algun sitio como base para leer, soy de argentina y hace mucho que tengo esta duda. Para mi la respues al enigma se vislumbrara al multiplicacion en polares de los complejos y lo que tundices debe ser un resumen a la regla
Bueno, no se que pasa con los post; pero no me deja hacer un comentario decente con mas de 6 lineas.
la propiedad distributiva respecto al producto de la raiz cuadrada; sqrt(A) * sqrt(B) = sqrt(A*B) A,BeR vale, si A ó B almenos alguno es >0 si ambos fueran
i^2 = -1
(-i)^2 = -1
entonces sqrt(-1) es i ó (-i)
tenemos cuatro combinaciones posibles para sqrt(-1) * sqrt(-1)
= i * i = i^2 = -1
= i * (-i) = -(i^2) = +1
= (-i) * (-1) = i^2 = -1
= (-i) * i = -(i^2) = +1
sqrt(A) * sqrt(B) = sqrt(A*B) A,BeR
vale, si A ó B almenos alguno es >0
si ambos fueran
He encontrado una solución aquí.
Efecto mariposa me has chafado la demostración grrrr :P. Esa es justamente la explicación. Como podréis ver el argumento del número complejo es esencial. En unos días la escribo bien en el post.
Vaya lo siento 😉
De todos modos ya nos habíamos ido acercando bastante…
[…] Los complejos nos dice que 1=-1 […]
Es muy cierto lo que dice setantaset acerca del tema
es que por si no lo sabian y como comento el compañero diamond las raices con n=1,2,… va a tener tantos resultados como la raiz q se este calculando ya q es segun una formula y en el caso particular de la raiz cuadrada da dos valores uno positivo y uno negativo x ello la raiz 1 partiendo de 1 va a dar -1 y 1
Yo había hecho la misma suposición sobre la igualdad 1 con -1 con respecto a los números complejos ,esto causó que mi profesor me dijera que yo «había cometido una aberración contra las matemáticas » . Aún así yo ya sabía (más o menos) de antemano que en la parte final de la operación cancela la raiz con el cuadrado de -1 .
Veamos Z1 = a + bi Z2 = c + di Z = Z1.Z2 = (a.c – b.d) + (a.d + c.b)i +b.d(i^2) Cuando se dice: 1 = -1 También se puede expresar 1 = (i^2) Osea: 1 – (i^2) = 0 Los que nos conduce a pensar que viene de un producto Z1.Z2 = 0 Entonces: (a.c – b.d) + (a.d + c.b)(i) + b.d(i^2) = 1 – (i^2) Ahora igualando términos a.c – b.d = 1….(I) a.d + c.d = 0…(II) b.d = -1….(III) Resolviendo. (III) en (I) a.c + 1 = 1 a.c = 0 De la… Lee más »
Cuando dices que la raíz del producto es igual al producto de las raíces solo cuando la suma de los argumentos está entre -pi y pi, te refieres a las soluciones tomadas de esas raíces, ¿no? Entonces, cuando tomo i como solución a las raíces de -1, se tendría pi/2 + pi/2 = pi, y se sale del intervalo (-pi, pi) que se requiere, ¿no? Al coger en uno i, y en el otro -i, la suma de sus argumentos sería pi/2 + (-pi/2) = 0. Es que pones pi + (-pi) = 0, y no sé el argumento de… Lee más »
el error está en no ponerle módulo a la raíz, ya que ésta tira 2 resultados
Entonces la raíz de 1 más la raíz de 1 vale 0?