Hoy os traigo el juego 1 = -1. Ya vimos en este post hace un par de días algunas cosas sobre números complejos. En particular vimos que i, la unidad imaginaria, cumple que i2 = -1, es decir, que i es la raíz cuadrada de -1. Usando esa propiedad podemos plantear lo siguiente:

1=-1

Evidentemente hay algo mal en este planteamiento, ya que 1 no es igual que -1. Pero, ¿en qué paso del razonamiento se encuentra el error? ¿Por qué?

Solución:

Efecto Mariposa ya puso un enlace a la explicación en uno de los comentarios. Y esa misma es la explicación que yo iba a dar. Vamos con ella:

Para cualquier número complejo se define su argumento como el ángulo que forma el vector asociado a ese número complejo con el eje X. Si ese argumento está entre -π y π a ese argumento se le llama argumento principal del número complejo.

Por otra parte cada número complejo tiene 2 raíces cuadradas, 3 raíces, cúbicas, 4 raíces cuartas, etc. Una de ellas se denomina rama principal de la raíz. Pues esa misma es la que hay que tomar en este caso.

La raíz de ese producto se puede separar en ese producto de raíces siempre que la suma de los argumentos de los dos números complejos esté entre -π y π. En este caso tendríamos π + π = 2π, que se sale de ese rango. Por tanto deberíamos haber cogido para uno de los -1 la raíz cuadrada -i, que tiene como argumento -π. En este caso la suma de los argumentos sería π + (-π) = 0, que sí está en ese rango.

En este enlace podéis ver la explicación completa.

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