Interesante artículo el que me encuentro en Random Walks sobre la gráfica de la arcocotangente.

No sé vosotros, pero yo no había pensado/caído en esto antes (al menos que yo recuerde). La cuestión es que hay una cierta controversia acerca de cuál es la gráfica de la función arcocotangente, que igual podríamos comparar a la que existe con el tema de curvatura de una función de una variable. Vamos a explicar en qué consiste.

¿Cuál es la gráfica de la arcocotangente?

Antes de nada quiero recordar que la función arcocotangente de x es la función inversa de la función cotangente de x, por lo que lo suyo sería que esa función inversa fuera única (que para eso es una inversa, ¿no?).

La cuestión, directamente, es la siguiente: existen dos representaciones gráficas esencialmente distintas que podrían considerarse la gráfica de la función arcocotangente de x. Cierto que las dos provienen de la gráfica de la función cotangente de x, pero son, como he dicho antes, esencialmente distintas.

Un momento: ¿cómo puede ser esto? Vayamos por partes. La representación gráfica de la función cotangente de x, cotg \; (x), es la siguiente:

Cotangente

Su dominio es \mathbb{R}-\{k \pi, k \in \mathbb{Z} \} (todos los números reales excepto los múltiplos enteros de \pi) y su imagen es \mathbb{R} (todos los números reales).

Para que una función tenga inversa debe cumplirse que dicha función sea biyectiva, por lo que para encontrar la inversa de esta función cotangente habrá que tomar un intervalo donde sea biyectiva (ya que la función cotangente en conjunto no lo es). Y aquí es donde está el problema. Al parecer hay dos elecciones que pueden encontrarse como la correcta a la hora de definir la función inversa de la cotangente.

La primera de ellas toma la parte de la gráfica de la cotangente que va de 0 a \pi en el eje X

dando como resultado la siguiente gráfica para su inversa, la arcocotangente:

que tendría como dominio al conjunto de todos los números reales y como imagen al intervalo [0, \pi]. Calculando el valor de esta función en, por ejemplo, x=-2 obtenemos que arccotg \; (-2)=2.678 \ldots

Y la segunda toma la parte de la gráfica de la cotangente que va de \frac{-\pi}{2} a \frac{\pi}{2} en el eje X

quedando esta gráfica como representación de la arcocotangente:

que tendría como dominio al conjunto de todos los números reales y como imagen al intervalo [\frac{-\pi}{2},\frac{\pi}{2}]. Calculando el valor de esta función también en x=-2 se obtiene que arccotg \; (-2)=-0.46365 \ldots

¿Ein? ¿Dos valores distintos? ¿Y cuál nos quedamos como más correcto? En general, ¿cuál es la más correcta (si es que alguna de ellas es más correcta que la otra)?

Echando un ojo a programas informáticos tampoco obtenemos una respuesta clara. La segunda de estas interpretaciones es la que dan WolframAlpha (y por tanto el programa Mathematica), Mathlab y FooPlot, por poner algunos ejemplos, pero la primera también aparece en algún programa informático, como, según parece, MathCAD y Maple (no he podido comprobar este hecho yo mismo ya que no dispongo de los programas). Y por si alguien está pensando en ella, en la Wikipedia (en inglés) también dan la primera gráfica como la opción correcta.

Bien, pues como reza el título de esta entrada, os dejo una encuesta sobre este asunto, como ya hicimos con la curvatura de una función de una variable o la pertenencia o no del cero al conjunto de los números naturales:

Siendo ésta la Gráfica 1 de la arcocotangente

y ésta la Gráfica 2

[poll id=»3″]

Yo todavía no voy a dar mi opinión para no influir en el resultado de la encuesta. En unos 10 días terminará la encuesta y veremos los resultados.


En este post de squareCircleZ, que es de donde he sacado algunas de las imágenes, hablan también sobre este tema.

Actualización (20-5-2011):

Terminada ya la encuesta, dejo los resultados junto con la imagen de la representación gráfica más votada:

Gracias a todos.

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